218. Теорема синусов. Формула Герона.

Рассмотрим треугольник ABC с высотой опущенной из вершины С (рис. 300). Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание: Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как в случае острого угла а (рис. 300, а) или как в случае тупого угла а (рис. 300, б). В силу равенства в обоих случаях имеем Формула для площади треугольника примет вид

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Вместе с формулой (218.1) верны, конечно, и аналогичные формулы:

Из равенств (218.1) и (218.2) вытекают пропорции

выражающие следующую теорему.

Теорема синусов. Стороны треугольника ропорциональны синусам противолежащих углов.

Выведем теперь формулу Герона, дающую выражение площади треугольника через длины его сторон. Для этого выразим из формулы (217.4):

и из формулы (218.1):

Возводя оба последних равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем

откуда

или, вводя для периметра обозначение

Окончательно имеем следующую формулу для S (формула Герона):

Отсюда получаются также формулы для высот треугольника:

и т. д. Достаточно, конечно, знать на память формулу Герона, так как выражения высот получаются из нее немедленно.

Пример. Найти площадь треугольника и длины его высот, если стороны соответственно равны

Решение. Полупериметр подставляя и стороны в формулу Герона, находим площадь треугольника:

Высоты получаются теперь просто:

Задача. Найти высоту трапеции, основания которой а и с равны 25 и 11, а боковые стороны

Решение. Проведем через вершину В верхнего основания трапеции прямую ВМ, параллельную боковой стороне CD

(рис. 301).

В треугольнике АВМ известны все три стороны. По формуле Герона находим площадь этого треугольника :

Рис. 301.

Рис. 302.

Отсюда видно, что высота равна

Чему равны диагонали трапеции?