168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Как пример вычисления площади фигуры рассмотрим задачу отыскания площади прямоугольника. Возьмем прямоугольник со сторонами, равными а и b единиц (рис. 178). Пусть сторона а выражается дробью сторона частности, они могут иметь и длины, выражаемые целыми числами). Будем производить разбиение прямоугольника прямыми, параллельными его сторонам, взяв в числе этих прямых прямые, на которых лежат стороны прямоугольника АВ и CD. Тогда на стороне уместится единиц, на стороне уместится единиц; число квадратов первого разбиения (целых единичных квадратов), поместившихся в прямоугольнике, будет равно . На рис. 178 число квадратов равно 6. При разбиении на десятые доли единичного отрезка (достаточно производить разбиение остатков сторон!) в стороне АВ уместится в стороне ВС десятых единицы. Число квадратов второго разбиения (с площадью, равной 1/100 единицы площади) будет равно а площадь фигуры, занятой ими, выразится одной сотой этого числа:

Продолжая процесс, мы все время получаем для площади прямоугольника приближенное значение по недостатку.

При неограниченном продолжении процесса дробь выражает длину стороны а, дробь - длину стороны b, и площадь окончательно выражается как произведение сторон:

(мы опираемся здесь на теорему о том, что предел произведения равен произведению пределов; п. 85). В частности, площадь квадрата равна квадрату его стороны: .

Рис. 179.

Процесс вычисления объема тела не отличается существенно от изложенного. За единицу измерения объемов принимается объем куба с ребром, равным единице длины; любое тело, объем которого надлежит найти, разбивают тремя рядами перпендикулярных между собой плоскостей на кубы с ребром, равным единице, затем на кубы с ребром в одну десятую единицы, в одну сотую и т. д.

Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b, с оказывается равным произведению длин его трех взаимно перпендикулярных ребер (измерений):

На рис. 179 это показано на примере параллелепипеда с ребрами, длина которых выражается целым числом единиц:

На систематическом развитии схематически изложенного здесь метода основано вычисление площадей и объемов в курсе высшей математики (интегральное исчисление). В элементарном курсе геометрии, где рассматриваются лишь некоторые простейшие фигуры и тела, для решения этих задач применяются различные частные приемы.

Упражнения

1. Возьмите два отрезка АВ и CD. Пользуясь циркулем, постройте на какой-нибудь прямой отрезки, равные .

2. При отыскании общей меры отрезков АВ и CD первый из них уложился во втором 2 раза. Остаток уложился в АВ 4 раза.

Новый остаток в прежнем уложился 5 раз, и, наконец, последний остаток в предыдущем — 3 раза. Как относятся длины отрезков АВ и D?

3. Проведите заново рассуждения, необходимые для доказательства теоремы о длине объемлемой и объемлющей ломаной, по рис. 180.

4. Разность двух смежных углов равна

Чему равен каждый из них?

5. Какой угол составляют часовая и минутная стрелки в 15 час. 20 мин.?

6. За сколько времени земной шар поворачивается вокруг своей оси на одну дуговую мунуту?

7. Выразить углы 30°, 75°, 1°20' в радианной мере.

8. Для углов в 1,86 радиана, 3,07 радиана написать выражения в градусной мере.

9. Стороны прямоугольника имеют иррациональные длины. Может ли его площадь выражаться рациональным числом? Приведите пример.

Рис. 180.