211. Углы с вершиной внутри и вне круга.

Пусть теперь угол образован двумя хордами, пересекающимися внутри круга (угол АМВ на рис. 281). Тогда справедливо утверждение:

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг

АВ и АВ, лежащих соответственно внутри данного угла и угла, с ним вертикального.

Доказательство. Соединим точки хордой угол АВВ будет измеряться половиной дуги АВ, угол половиной дуги АВ, а данный угол, равный, как внешний угол треугольника АМВ, сумме внутренних, с ним не смежных углов АВВ и ААВ, будет измеряться полусуммой дуг

АВ и АВ, что и требовалось доказать.

Докажем, наконец, что

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из внешней точки (угол AMB на рис. 282), измеряется полуразностыо дуг

АВ и АВ, лежащих внутри его.

Для этого проведем хорду АВ и рассмотрим данный угол как разность углов и АВВ (снова применяем свойство внешнего угла треугольника). Остальное очевидно.

Можно допустить также, что одна или обе секущие превращаются в касательные (рис. 283). Теорема остается в силе и в этом случае.

Рис. 282

Рис. 283.

Рис. 284.