§ 2. Десятичные логарифмы

28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.

Десятичным логарифмом числа называется его логарифм по основанию 10. Кроме общего обозначения для десятичных логарифмов обычно применяют сокращенное обозначение .

Десятичные логарифмы широко применяются в приближенных вычислениях; в связи с этим имеются подробные и весьма точные таблицы десятичных логарифмов.

Читателю известны четырехзначные таблицы В. М. Брадиса, применяемые при изучении логарифмов в школьном курсе математики. Об использовании таблиц функций вообще говорится специально в п. 220.

Для пользования таблицами десятичных логарифмов и для их применения к приближенным вычислениям нам потребуются некоторые свойства и понятия, относящиеся к десятичным логарифмам.

Рассмотрим все числа вида где — целое число:

Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если и с предшествующими нулями, если Из определения логарифма видно, что эти числа имеют целые десятичные логарифмы: . Удобно сформулировать следующее правило:

Десятичный логарифм числа, представляемого единицей с нулями, равен числу нулей в этом числе, если оно есть единица с последующими нулями, и числу нулей с противоположным знаком, если оно есть единица с предшествующими нулями.

Например:

Десятичный логарифм любого числа, не равного целой степени десяти, является числом дробным (вообще говоря, иррациональным).

Напомним, что всякое число (рациональное или иррациональное) однозначно разлагается на сумму своей целой части и дробней части (см. пп. 4, 6). При этом целой частью данного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного; дробная часть любого числа заключена между нулем и единицей:

Введем теперь следующее.

Определение. Для любого положительного числа целая часть десятичного логарифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой этого логарифма.

Характеристику логарифма любого положительного числа можно найти точно, и делается это с помощью простого правила. Действительно, пусть дано число тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями между которыми находится данное число

Прологарифмируем эти неравенства по основанию 10:

в соответствии со свойством 5 логарифмов (п. 26). Отсюда следует, что целая часть, т. е. характеристика равна .

Многоточием обозначены неизвестные десятичные знаки мантиссы, т. е. дробной части При этом в случае применяется искусственная форма записи

Для формулировки соответствующего правила рассмотрим два случая: N > 1 и N < 1.

Пусть N > 1 (десятичный логарифм в этом случае положителен). Обозначим через k число цифр в записи целой части N. Ясно, что в этом случае

Например, для N = 378,6 (трехзначная целая часть)

Логарифмируя неравенства (28.1), получаем

и видим, что характеристика равна (например, характеристика логарифма 378,6 равна 2).

Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части,

Например:

Пусть теперь положительное число N меньше единицы: Тогда по свойству 4 из п. 26 будет отрицательным числом: числа N и 10 в рассматриваемом случае лежат по разные стороны от единицы.

Запись числа TV начинается в этом случае с нуля целых; за этим нулем может следовать еще несколько нулей перед первой отличной от нуля цифрой числа. Если число нулей перед первой ненулевой цифрой (включая и нуль целых) равно I, то

Например:

Неравенства (28.3) показывают, что

т. е. характеристика логарифма равна .

Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

Например:

Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). В самом деле, перенести в числе запятую — это значит умножить его на некоторую целую (положительную или отрицательную) степень числа 10. Например, при переносе запятой на 2 знака вправо число умножится на , а при переносе запятой на 2 знака влево оно умножится на . Пусть

где — характеристика, мантисса этого логарифма. После переноса запятой в числе N на k знаков получится число (верхний знак относится к случаю переноса запятой вправо, а нижний — к случаю переноса запятой влево). На основании правил логарифмирования (п. 25) имеем

Но - целое число, так что прибавление к может отразиться лишь на его характеристике:

Из рассмотренного можно заключить, что если числа записаны с помощью одних и тех же и одинаково расположенных цифр и отличаются одно от другого только местоположением в них запятой, то десятичные логарифмы таких чисел имеют одну и ту же мантиссу (но, конечно, разные характеристики!). Таковы, например, числа 42,59, 4,259, 0,4259, 0,04259 и т. д.

В качестве примера найдем без таблиц разность .

Логарифмы, из которых составлена данная разность, отличаются лишь характеристиками, а мантиссы у них одинаковы и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому искомая разность логарифмов равна разности их характеристик: . Этот пример можно решить и так: