12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.

Будем, как и в п. 11, рассматривать только корни из положительных чисел. Мы видели, что в случае, когда делится нацело на ,

Обобщая это правило, можно ввести следующее определение степени с положительным рациональным показателем

В случае отрицательного рационального показателя степени полагают (по аналогии со случаем целого отрицательного показателя степени)

На степени с рациональными показателями распространяются все правила действий над степенями с натуральными и вообще целыми показателями. Для их обоснования достаточно применить правила п. 11 действий над корнями. Докажем, например, свойство

Имеем

Так же получим Отсюда

что и требовалось доказать.

Рассматривают также степени положительного числа а при произвольных действительных показателях. В основу определения при иррациональном кладется последовательное приближение рациональными числами. Так, например, для следует рассмотреть приближения по недостатку и по избытку для и возводить 3 в соответствующие рациональные степени, записывая

По мере продолжения этого процесса левая и правая части неравенств, выраженные бесконечными десятичными дробями, будут иметь все большее и большее число совпадающих десятичных знаков, которые и будут приниматься за десятичные знаки, определяющие иррациональное число . Более подробно рассматривать этот вопрос мы не можем, но отметим, что имеет действительное вполне определенное значение при и любом действительном х.

Замечание. Извлечение корня нечетной степени возможно и из отрицательного числа. Поэтому выражению при а также можно приписать смысл с помощью равенства в случае, когда несократимая рациональная дробь имеет нечетный знаменатель. В случае четного q и для иррациональных значений показателя степень отрицательного основания не определяется. Нуль в любой положительной степени равен нулю; нулевая и отрицательные степени нуля не определены.

Пример. Произвести действия, пользуясь отрицательными и дробными показателями степени:

Решение.