§ 3. Комплексные числа

14. Основные понятия и определения.

В § 1 мы проследили, как при постепенном расширении рассматриваемой числовой области натуральные числа — целые числа — рациональные действительные числа достигается возможность выполнения сначала всех рациональных действий над числами, а затем такого, например, действия, как извлечение корня из положительного числа. Тем не менее и в области действительных чисел не все операции осуществимы. Так, например, во множестве действительных чисел невозможно извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Если уравнение решается в области рациональных чисел: , а уравнение области действительных чисел: , то уравнение не имеет действительных корней. В самом деле, квадрат любого действительного числа неотрицателен и при любом х имеем . Таким образом, внешне весьма сходные, уравнения второй степени оказываются весьма различными по своим свойствам: одно из них имеет два решения, другое — ни одного! Такое положение может быть устранено введением нового вида чисел (комплексных чисел), расширяющих множество действительных чисел (подобно тому как множество рациональных чисел расширило множество целых чисел и т. д.). При этом уже оказывается возможным не только приписать смысл корню квадратному из отрицательных чисел, но и вообще достичь положения, когда бы все алгебраические уравнения имели (в области комплексных чисел) решения.

Для определения комплексных чисел сначала введем некоторый символ 1, который назовем мнимой единицей. Этому символу приписывается (постулируется) свойство удовлетворять уравнению

Теперь рассмотрим множество всех двучленов вида

где а, b — произвольные действительные числа, и условимся производить над такими двучленами действия сложения, вычитания и умножения по обычным правилам алгебры (п. 19) с единственным дополнительным условием:

Так определенное множество выражений называется множеством комплексных чисел. Само выражение при любых а, b называется комплексным числом.

При этом а называется действительной частью числа а , а b - его мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице.

Данное определение необходимо дополнить условием равенства двух комплексных чисел:

Два комплексных числа считают равными в том и только в том случае, если порознь равны друг другу их действительные и мнимые части; это означает, что если , то и, обратно, если , то и .

Второе важное дополнительное соглашение состоит в том, что действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных. Именно, если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то вместо пишут просто и не отличают такого комплексного числа от действительного числа а.

В частности, комплексное число равно нулю в том и только в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части; это означает, что если , то и, обратно, если то и

Комплексное число, у которого равна нулю действительная часть, также записывают коротко в виде и называют чисто мнимым числом. Выражение «мнимое число» обычно применяют, чтобы указать, что комплексное число не является действительным, т. е. имеет ненулевую мнимую часть: .

Два комплексных числа действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называют комплексно сопряженными числами; число, комплексно сопряженное с числом z, обозначается через :

Очевидно, что .

Термин «мнимое число» свидетельствует о недоверии, с которым вначале воспринималось введение в математику этого вида чисел. В дальнейшем комплексные числа оказались, однако, чрезвычайно полезными как в самой математике, так и, благодаря важным приложениям, во многих инженерных дисциплинах.