§ 3. Общее подобное соответствие фигур

207. Подобные фигуры.

Рассмотрим две фигуры (ломаные линии) ABCD и ABCD (рис. 272), полученные одна из другой преобразованием подобия (гомотетии) с центром преобразования О и коэффициентом подобия k. В п. 206 мы отметили основные свойства таких фигур; соответствующие отрезки у них находятся в постоянном отношении k, а соответственные углы равны.

Представим себе теперь, что мы поместили одну из наших фигур, например ABCD, в новое положение . Можно по-прежнему рассматривать соответствие между точками (отрезками, углами) этой фигуры и фигуры ABCD, оставшейся в исходном положении.

Так как при перемещении размеры фигуры не изменяются, то и теперь отрезки и и ВС и т. д. пропорциональны:

а соответственные углы равны: Однако другие свойства, такие, как принадлежность соответственных точек лучам, проходящим через центр подобия, или параллельность соответствующих отрезков фигур, уже не имеют места; они нарушены перемещением в новое положение.

Рис. 272.

Рис. 2/3.

Если, однако, вернуть фигуру в ее исходное положение ABCD, то все эти свойства вновь будут верны; это подводит нас к следующему определению.

Определение. Две фигуры называются подобно соответствующими, если между их точками (и, следовательно, отрезками, углами) установлено такое взаимно однозначное соответствие, которое при надлежащем перемещении одной из фигур превратится в соответствие гомотетии.

Оказывается, что свойства подобных фигур, выделенные нами как основные, определяют понятие подобия; они могут быть приняты за определение подобия, равносильное данному, как это принято в некоторых учебниках. Именно, справедлива

Теорема. Если между точками двух фигур установлено соответствие, при котором отрезки, соединяющие соответственные точки, находятся в постоянном отношении и соответственные углы равны, то такие фигуры подобны.

Доказательство. Достаточно переместить одну фигуру в положение, гомотетичное другой. Пусть, например, у четырехугольников ABCD и ABCD (рис. 273) сходно обозначенные стороны пропорциональны:

и соответственные углы равны.

Переместим четырехугольник ABCD в новое положение так, чтобы вершина его А" совместилась с А, сторона была направлена вдоль стороны АВ и сторона - вдоль стороны AD, что возможно в силу равенства соответственных углов.

Мы утверждаем, что данные четырехугольники находятся теперь в соответствии гомотетии. В самом деле, для вершин В, В" и D, D" их гомотетичное соответствие очевидно. Рассмотрим пару вершин и покажем, что они лежат на одном луче АС и притом так, что . В самом деле, если провести луч АС, то он пересечет прямую в некоторой точке М (на самом деле в ), причем будем иметь так как в силу пропорциональности сторон то точки и совпадают, что и требовалось доказать.

Признаки подобия треугольников

1. Если две пары сторон треугольников пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть стороны а, b треугольника ЛВС пропорциональны сторонам а, b треугольника АВС. Преобразуем треугольник ЛВС подобно с коэффициентом подобия . Тогда у вновь полученного треугольника и треугольника АВС будут две пары равных сторон и равные углы, заключенные между равными сторонами. Треугольники равны по признаку равенства треугольников, исходные же треугольники подобны.

2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Доказательство. Один из треугольников преобразуем подобно так, чтобы одна из его сторон стала равна соответствующей стороне другого данного треугольника. Тогда уравниваются три пары сторон, и второй треугольник будет равен преобразованному; исходные же треугольники подобны.

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны (конечно, при этом окажутся равными и третьи углы треугольников).

Доказательство. Преобразуем один из треугольников подобно так, чтобы одна его сторона стала равна соответствующей стороне второго треугольника. Далее рассуждаем аналогично предыдущему.

Замечание. Для прямоугольных треугольников достаточно уже любого из следующих условий: 1) равенства одной пары острых углов, 2) пропорциональности катетов, 3) пропорциональности одной пары катетов и гипотенуз.

Рассмотрим некоторые приложения понятия подобия. Ранее указывалось (п. 187), что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим рис. 274, где изображены две медианы СМХ и треугольника ABC и средняя линия соединяющая концы этих медиан. Треугольники АОС и подобны, так как имеют равные углы. Коэффициент подобия т. е. медианы действительно делятся в отношении 2:1. Отсюда следует, что и третья медиана, которая должна делить две другие медианы в том же отношении, проходит через ту же точку О.

Рис. 274.

Рис. 275.

Рис. 276.

Задача 1. В треугольнике ABC угол В больше угла С. Линия BD проведена от вершины В к стороне АС так, что образует со стороной АВ угол, равный Найти отрезок BD, зная стороны треугольника а, b, с (рис. 275).

Решение. Весь треугольник ABC подобен треугольнику ABD, отсеченному от него прямой BD, так как угол А у них общий, а углы АСВ и ABD равны по построению. Теперь пишем пропорцию откуда

Задача 2. В треугольник вписан ромб так, как показано на рис. 276. Даны стороны треугольника и найти сторону ромба.

Решение. Из подобия треугольников ABC и MLC находим откуда неизвестная сторона ромба определяется по формуле .