208. Периметры и площади подобных треугольников.

Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то стороны их находятся в отношении . Отсюда получается т. е. периметры подобных треугольников относятся, как соответствующие стороны.

При подобном преобразовании фигуры все углы сохраняются, отрезки изменяются в одно и то же число раз. Поэтому высота треугольника при преобразовании гомотетии с коэффициентом перейдет в высоту треугольника

Для площади этого треугольника будем иметь

т. е. при преобразовании подобия площадь умножается на квадрат коэффициента подобия. Иначе говоря:

Площади подобных треугольников (и вообще любых фигур) относятся, как квадраты их линейных размеров.

Этот факт можно было бы предвидеть с более общей точки зрения. Именно, единица измерения площадей — квадрат со стороной единица — переходит в квадрат со стороной k и площадью в конечном счете площадь любой фигуры (это верно даже и для фигур с криволинейным контуром) измеряется с помощью разложения ее на квадраты (первого и последующих разбиений), и так как все эти квадраты меняют величину площади в раз, то это же верно и для фигуры произвольного вида.