103. Понятие периодической функции.

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности, которое определяется в общей форме следующим образом.

Определение. Функция называется периодической с периодом если для любого выполнено условие: если функция определена в одной из точек или то она определена и во второй точке, и ее значения в обеих точках равны между собой:

Число Т называется в этом случае периодом функции Докажем следующее предложение:

Если Т — период функции , то и любое из чисел также является периодом

Доказательство. Проведем сначала доказательство для —Т. Для этого рассмотрим пару значений аргумента Из записи

видно (в силу определения периодичности), что если функция определена в одной из точек то она определена и во второй точке.

Далее устанавливаем равенство

Доказательство того, что при натуральном является периодом функции проведем по индукции (случай отрицательного сводится к этому заменой Т на ). Итак, требуется установить, что если определена в одной из точек то она определена и во второй точке, причем

Рис. 102.

Рис. 103.

Допустим, что утверждение теоремы уже доказано для некоторого n = k (оно, например, очевидно при ). Докажем, что оно останется верным и для . Прежде всего, в силу того, что Т — период, замечаем, что если одно из значении аргумента принадлежит области определения функцни, то ей принадлежит и второе значение. Так как, по предположению индукции, такое же положение справедливо и для пары точек то видно, что точки принадлежат (или не принадлежат) области определения одновременно. Далее устанавливаем равенство значений в точках

(последнее - по предположению индукции).

Доказано, что период функции при любом целом п. Наименьший положительный период функции (если он существует) называется основным периодом.

Пример 1. Функция f(x) = c (с-постоянная величина) имеет своим периодом любое число. Основного периода здесь нет. График этой функции изображен на рис. 102.

Пример 2. Напомним, что целой частью числа х (обозначение: [х]) называется наибольшее целое число, не превосходящее х (п. 4). Целая часть есть функция от ее график показан на рис. 103.

Дробной частью числа х (обозначение: (х)) мы назвали разность между х и его целой частью:

Дробная часть х является периодической функцией с основным периодом Т = 1. Действительно,

и так как очевидно, что

График дробной части х показан на рис. 104.

Рис. 104.

Пример 3. а) Рассмотрим следующую функцию , определенную для удовлетворяющих неравенствам :

График функции изображен на рис. 105.

Рис. 105.

Рис.

б) С помощью этой функции приняв за основной период число построим периодическую функцию :

График функции изображен на рис. 106.