47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.

Если имеется график функции то нетрудно построить графики функций Эти графики будут симметричны с графиком функции относительно оси оси начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) точки этого графика будут симметричны с точками графика функции относительно оси Ох (каждой точке (х, f (х)) отвечает точка (х, -f(x)), симметричная с ней).

2) в этом случае область определения функции у состоит из точек, оси Ох, симметричных с точками области определения функции относительно начала координат. Например, функция определена при функция же определена при . Графики функций состоят из попарно симметричных относительно оси Оу точек .

3) точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам графика относительно начала координат.

На рис. 47 показан график некоторой функции y=f(x) и графики функций .

Рис. 47.

Рис. 48.

По графику функции можно также построить график функции вида

Положим для определенности а > 0 (случай а < 0 сведется к случаю положительного а после преобразования симметрии рассмотренного только что).

Ясно, что график функции получится из графика функции умножением всех ординат на одно и то же число а (так получались, например, графики функций по графику функции ). Если а > 1 (например, а = 2, как на рис. 48), то можно сказать, что график растягивается в а раз в направлении оси При рис. 48 показан случай «растяжение» в а раз удобней назвать сжатием (в 1/а раз).

Наконец, покажем еще, как по графику функции найти график функции Пусть сначала . Тогда точкам графика с координатами можно поставить в соответствие точки графика с теми же ординатами у и абсциссами в а раз меньшими, чем абсциссы графика Так, в случае мы будем получать равные значения функций выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При действие деления абсцисс на а приведет не к уменьшению (сжатию), а к увеличению (растяжению) абсцисс.

На рис. 49 показаны график некоторой функции (заданной на сегменте и графики функций Заметим, что сама область оси в которой задана функция y=f(x), соответственно растягивается или сжимается.

Рассмотренные преобразования могут осуществляться одновременно в разных сочетаниях. Так, чтобы по графику функции построить график функции следует выполнить преобразования: 1) сжатия в направлении в два раза, растяжения в направлении оси Оу в три раза, отражения относительно оси Ох.

Рис. 49.

Преобразования сжатия (растяжения) в направлениях осей встретятся, например, при построении графиков некоторых тригонометрических функций (п. 112).