234. Свойства параллельных прямых и плоскостей.

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство. Пусть две параллельные плоскости X и пересечены плоскостью v; тогда линии их пересечения а и b (рис. 332) лежат в плоскости v и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

2. Через точку, лежащую вне данной плоскости X, можно провести единственную плоскость, параллельную данной (то, что такую плоскость можно провести, нам уже известно).

Доказательство. Пусть - две какие-либо пересекающиеся прямые в плоскости X; плоскости, проведенные через каждую из них и точку М, должны пересечь плоскость, проведенную через точку М параллельно данной плоскости, по прямым, параллельным а и b. Но две такие прямые а определяют единственную плоскость, проходящую через них, откуда и следует наше утверждение.

3. Если две плоскости порознь параллельны третьей, то они параллельны между собой.

4. В двух плоскостях , пересекающихся по прямой а, прямые, параллельные прямой а, и только они параллельны друг другу.

Свойства 3 и 4 читатель докажет самостоятельно.

5. Если плоскости , пересекающиеся по прямой а, соответственно параллельны плоскостям то плоскости пересекаются по прямой а, параллельной прямой а.

Рис. 333.

Рис. 334.

Рис. 335.

Для доказательства достаточно рассмотреть прямую получающуюся при пересечении плоскости , с плоскостью (рис. 333); она окажется параллельной как линии а пересечения так и линии а пересечения

Прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна линии их пересечения.

Доказательство. Проведем плоскость через прямую b и любую точку М линии а пересечения данных плоскостей (рис. 334); она пересечет каждую из плоскостей , по прямой, параллельной b, а значит, она пересекает их по одной и той же прямой; эта прямая, принадлежа каждой из плоскостей , совпадает с их линией пересечения а.

7. Если — скрещивающиеся прямые, то существуют плоскости , параллельные между собой и содержащие соответственно прямые .

Доказательство. Выберем на каждой из двух скрещивающихся прямых по одной точке М и N (рис. 335) и проведем через точку М прямую параллельную прямой , а через точку N прямую параллельную .

Пересекающиеся прямые соответственно параллельны пересекающимся прямым тип. Поэтому плоскость , проходящая через тип, параллельна плоскости , проходящей через , т. е. существуют параллельные плоскости, содержащие соответственно прямые тип.