82. Неравенства с двумя неизвестными.
Неравенство с двумя неизвестными
имеет своими решениями пары чисел 
которые изображаются точками плоскости. Найти множество всех решений данного неравенства (или, в других случаях, системы неравенств) — это значит указать на плоскости множество точек, в которых это неравенство (система неравенств) удовлетворяется. Такая необходимость возникает, например, при отыскании 
алгебраического выражения, зависящего от двух буквенных величин.
Пример 1. Указать на плоскости множество решений неравенства: 
Решение, а) Неравенство удовлетворяется в двух случаях: 1) при 
при 
Рис. 67.
В случае 1) получается часть правой полуплоскости 
лежащая ниже прямой 
. Случаю 2) отвечает часть левой полуплоскости, лежащая выше прямой 
Все множество решений неравенства показано на рис. 67, в.
Линии 
ограничивающие заштрихованную область, в нее не входят (так как решалось строгое неравенство).
б) Пусть сначала 
. Тогда получается система неравенств
Так как 
- уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные единице, то неравенствам будут удовлетворять точки треугольника, ограниченного отрезками осей координат и прямой 
первой четверти; рис. 68, а).
Рис. 68.
Части области, расположенные в других четвертях, будут симметричны указанному треугольнику (рис. 68, б). В этом легко убедиться, если заметить, что вместе с точкой (х, у) неравенству будут удовлетворять и симметрично расположенные точки 
. Линии, ограничивающие область, в данном случае ей принадлежат (вследствие того, что неравенство нестрогое).
Пример 2. На плоскости 
показать области, в которых функция
положительна или отрицательна.
Решение. На плоскости 
изобразим параболы 
отделяющие друг от друга области 
а), а также области 
(рис. 69, б). Области, где указанные выражения положительны, заштрихованы (разной штриховкой на рис. 69, а и 69, б).
Оба чертежа совмещены на рис. 69, в и теперь видно, что области, покрытые двойной штриховкой и совсем незаштрихованные, являются областями положительности функции, а однократно заштрихованные области — областями ее отрицательности.
Рис. 69.
Всего получается пять областей, в двух из которых функция отрицательна и в трех положительна.
Упражнения
1. Решить неравенства:
2. Решить системы неравенств:
3. Решить неравенства;
4. Решить неравенства:
5. Решить неравенства:
6. Решить неравенства:
7. Решить неравенства:
8. Показать на координатной плоскости множества решений неравенств: а) 
