133. Функция y = arcctg x (арккотангенс).

Функция определена на всей оси за исключением точек вида , где . Областью изменения ее значений является вся ось . Так же как и для функций, рассмотренных в пп. 130—132, существует бесконечно много значений аргумента для которых где

Рис. 133.

В качестве интервала оси на котором определяется обратная функция по отношению к функции берут обычно интервал . На этом интервале функция монотонно убывает, принимая все значения от до Следовательно, для любого лежащего на оси найдется, и притом только одно, значение из интервала такое, что а это и значит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют арккотангенсом и обозначают так: Меняя обозначение, будем писать:

Пример 1. Найти

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до , котангенс которого равен

Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен —1/13, например: и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале . Таким аргументом будет Итак,

Пример 2. Найти .

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим

График функции симметричен с графиком функции относительно биссектрисы координатных углов (см. рис. 21 в п. 35). Свойства функции вытекают из соответствующих свойств функции на интервале и видны из графика на рис. 134.

Рис. 134.

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: любое действительное число.

2) Область изменения: интервал .

3) Функция ни четная и ни нечетная. Для нее выполняется тождество

4) Функция у монотонно убывающая.

5) График пересекает ось Оу в точке . К оси Ох при он приближается асимптотически является для него горизонтальной асимптотой при Прямая а также служит асимптотой графика при любых .