249. Объемы призм и цилиндров.

Будем считать формулу п. 168, выражающую объем прямоугольного параллелепипеда как произведение трех его ребер, установленной:

Объемы всех иных призматических или цилиндрических тел немедленно вычисляются путем замены этих тел прямоугольными параллелепипедами, равновеликими им, на основе следующего правила, принимаемого нами аксиоматически и известного под названием принципа Кавальери.

Принцип Кавальери. Если два тела заключены между двумя параллельными плоскостями (рис. 379) и сечения их любой плоскостью, параллельной данным двум основаниям, равновелики между собой: , то объемы тел равны:

Теперь мы в состоянии вычислить объем любой призмы и любого цилиндра, прямого или наклонного.

Пусть дано некоторое цилиндрическое тело высоты h с площадью основания (а значит, и площадью любого сечения, параллельного плоскости основания!), равной S. Построим прямоугольный параллелепипед с той же высотой и такой же площадью основания S (рис. 380).

Объем данного тела и объем параллелепипеда будут равны на основании принципа Кавальери. Но объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: . Таким же будет, следовательно, и объем цилиндра (призмы).

Объем, любого цилиндра (призмы) равен произведению площади основания на высоту:

В частности, для прямого круглого цилиндра площадь основания равна , где R — радиус цилиндра, и объем получается равным

Задача. Треугольная призма описана около цилиндра вращения радиуса R и высоты Периметр основания равен Р.

Рис. 380.

Рис. 381

Найти объем призмы.

Решение. Радиус цилиндра есть в то же время и радиус окружности, вписанной в основание призмы (рис. 381). Этот радиус равен (см. п. 219). Отсюда площадь основания и искомый объем .