42. Показательная функция.

Функция вида

при называется показательной функцией.

Исследуем эту функцию.

1) Областью определения функции (42.1) служит вся ось абсцисс, т. е. бесконечный интервал

Функция (42.1) не является ни четной, ни нечетной.

2) Функция положительна при всех значениях аргумента, поэтому ее график весь располагается выше оси абсцисс. Если , то при при Напротив, если , то при при х < 0. В любом случае График проходит через точку (0, 1) на оси

Если то функция монотонно возрастает; если то она монотонно убывает. Действительно, пусть, например, При имеем

в этом выражении оба множителя положительны и Аналогично доказывается убывание функции в случае

Пусть как мы видели, функция возрастает; можно показать, что при этом ее значения по мере возрастания становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки по оси абсцисс вправо.

Если теперь заставить переменную точку двигаться без ограничений по оси влево, то при этом значения функции (42.1) будут становиться все меньше и меньше, оставаясь, однако, положительными. По мере неограниченного движения точки по оси влево график функции (42.1) будет сверху все ближе и ближе подходить к оси Ось является горизонтальной асимптотой графика функции (42.1), как показано на рис. 36, а.

В случае функция как уже отмечено, убывает; по мере возрастания ее значения быстро приближаются к нулю — ось является асимптотой графика функции. Отрицательным значениям теперь соответствуют значения функции, большие единицы, с увеличением модуля функция растет, стремится к бесконечности.

График показательной функции при показан на рис. 36, б.

Чем больше основание тем круче поднимается график функции вправо и тем быстрее приближается к асимптоте при движении точки влево.

Рис. 36.

Рис. 37.

На рис. 37 показаны графики показательных функций у при значениях основания Заметим, что графики у и соответственно симметричны относительно оси Действительно, можно записать как если точка принадлежит графику функции у то точка симметричная ей относительно оси лежит на графике

Замечание. Исключение из числа значений основания а чисел и отрицательных значений а объясняется следующими обстоятельствами. При выражение вида определено при и в этом случае тождественно равно нулю. При выражение определено при всех но снова имеет постоянное значение (тождественно равно единице). Для отрицательных а возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным знаменателем имеет смысл в случае лишь при указанных сравнительно «редких» значениях а. Поэтому и исключают из определения показательной функции в силу того, что эти случаи неинтересны (приводят к постоянным), а силу того, что область допустимых значений не является «сплошной», а состоит из «разрозненных» точек. Само аналитическое выражение в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения точка входит в о.д.з.