18. Извлечение корня из комплексного числа.

Рассмотрим задачу извлечения корня натуральной степена из произвольного комплексного (в частности, действительного) числа 2; при этом будем искать все возможные значения корня, действительные и комплексные. Для решения задачи в общем виде используется представление комплексного числа в тригонометрической форме:

Здесь мы учли, что аргумент комплексного числа определен с точностью до целого числа периодов так что -одно из значений аргумента при - совокупность всех значений аргумента числа

По общему определению понятия корня (п. 11) число w называется корнем степени из , если Запишем неизвестное w также в тригонометрической форме:

Тогда, применяя формулу Муавра (17.3), перепишем равенство в виде

Обе части равенства (18.3) суть комплексные числа, заданные в тригонометрической форме; условия их равенства, указанные в п. 16, дают два соотношения:

Первое из соотношений (18.4) показывает, что

(так как , то корень понимается в арифметическом смысле). Второе равенство (18.4) выражает тот факт, что аргумент числа равен одному из значений аргумента числа . Из этого равенства находим

и оказывается, что при разных значениях k получаются, вообще говоря, разные значения корня w. Обозначим значение 0, соответствующее каждому выбору числа k, через :

Будем давать k значения . При этом получим и вместе с тем значений корня

Покажем, что все эти значения различны, а при остальных возможных значениях k новых значений корня w уже не получится. Для этого заметим, что разность аргументов будет равна

Числа совпадут в том и только в том случае, если делится на нацело. Для разность любых двух значений на не разделится. Если же теперь брать или , то значения корней будут повторяться:

Таким образом, все значения корня степени получаются из формулы (18.6) при Корень степени из любого числа, отличного от нуля, имеет в комплексной области ровно различных значений.

В случае единственное значение также равно нулю; для достижения общности формулировки можно говорить, что корень степени из нуля также имеет значений, которые все совпадают между собой (и равны нулю).

Пример 1. Найти все значения корней: а) ; б) . Решение, а) Записываем —16 в тригонометрической форме:

Теперь

При получим

или, вообще,

Пример 2. Вычислить: а) б) . Решение, а) Находим

Далее,

Таким образом,

Следовательно,

Отсюда при найдем все четыре значения искомого корня:

б) Аналогично находим

и, следовательно,

Значит,

и при получим

Упражнения

1. Выполнить указанные действия:

2. Построить на плоскости точки, изображающие следующие комплексные числа:

3. Записать в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

4. Выполнить следующие действия:

5. Вычислить:

6. Найти все значения корней: а) б)