15. Рациональные действия с комплексными числами.

Уже в определении комплексных чисел было указано, что действия над ними определяются как действия над алгебраическими двучленами. Рассмотрим сначала действия сложения и вычитания: под суммой (разностью) комплексных чисел понимают такое комплексное число, действительная и мнимая части которого представляют собой соответственно суммы (разности) действительных и мнимых частей данных чисел. Обозначаются сумма и разность обычным образом, как :

полном согласии с правилами действий над двучленами). Аналогично находится алгебраическая сумма любого числа слагаемых.

Заметим, что при введении обозначения комплексного числа мы, строго говоря, использовали знак сложения не в своем прямом смысле: ведь складывать а и мы в этот момент еще не умели. Сейчас, однако, видно, что можно понимать комплексное число как сумму действительного числа и чисто мнимого

Пример 1. ; вычислить

Решение.

Заметим, что сумма двух сопряженных чисел есть число действительное, а разность — чисто мнимое; в самом деле,

Произведение комплексных чисел определяется как произведение двучленов (п. 19) с применением обычного правила раскрытия скобок:

Пример 2. Вычислить произведение чисел

Решение.

Заметим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел есть неотрицательное действительное число; в самом деле,

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . В частности, когда число действительное, то — модуль действительного числа, рассматриваемого как частный случай комплексного числа, — есть то же самое, что модуль действительного числа в прежнем смысле слова (п. 6).

Очевидно, что . Равенство (15.3) означает, что произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Произведение нескольких сомножителей может быть найдено последовательным умножением. Натуральная степень комплексного числа, например и вообще может быть найдена при помощи формул квадрата суммы, куба суммы и вообще формулы бинома Ньютона При этом удобно использовать общее правило для возведения в любую натуральную степень мнимой единицы . Так как

то при возведении в любую степень можно, не меняя результата, отбросить от показателя степени слагаемое, кратное четырем. Поэтому для возведения числа в любую натуральную степень надо найти остаток при делении на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Пример 3. Найти: а) .

Решение, а) Имеем отсюда имеем отсюда .

Пример 4. Вычислить .

Решение. Пользуемся формулой куба суммы (20.6):

Деление комплексных чисел определим как действие, обратное умножению, результат деления назовем частным.

Частное от деления на (предполагается, что ) обозначается, как обычно, через или и, по определению, является таким числом z, что .

Покажем, что при существует вполне определенное комплексное число - частное от деления на Будем искать неизвестное из условия

Обозначив получим

и, пользуясь определением равенства комплексных чисел (п. 14), найдем

Для искомых чисел у получилась система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (см. пп. 66, 67). Решая эту систему, найдем (рекомендуется проделать вычисления подробно, пользуясь, например, методом исключения неизвестных или определителями)

т. е.

Так как , то и , т. е. деление выполнимо при любом

Практически удобней не пользоваться громоздкой формулой (15.4), а выполнять деление следующим приемом: для отыскания частного умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же число , (сопряженное с числом ). Получаем дробь знаменатель которой равен , т. е. уже является действительным числом.

Пример 5. Разделить на .

Решение .

В дальнейшем нам окажутся полезными следующие соотношения, показывающие, что результат рациональных действий, выполненных над числами, комплексно сопряженными с данными, сам комплексно сопряжен с результатом тех же действий, выполненных над данными числами:

Выведем, например, вторую из этих формул (доказательство первой и третьей предоставим читателю). Пусть даны

Тогда Находим

и

Из сравнения этих результатов и следует требуемое соотношение.

В заключение заметим, что над комплексными числами выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль), причем в результате снова получаются комплексные числа. Комплексные числа образуют числовое поле — поле комплексных чисел.

Рис. 8.