151. Решение уравнения типа...

Рассмотрим уравнение

Решение. Применив формулу (125.5) для суммы тангенсов, получим новое уравнение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

Преобразуем числитель, воспользовавшись формулой

или

Заменив разность косинусов по формуле (125.4), будем иметь

Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (151.3), получаем

Последнее уравнение распадается на три уравнения, которые дают следующие три серии решений:

Заметим, что первая серия решений входит во вторую при четных , т. е. при Поэтому общее решение уравнения (151.4) состоит из двух серий:

Проверка. Заметим следующее:

1) уравнения (151.1) и (151.3) эквивалентны, поэтому мы можем делать проверку полученных решений, подставляя их в уравнение (151.3);

2) проверку решений можно делать в общем виде, а можно, используя нечетность и периодичность функций, входящих в уравнение (151.3), делать проверку только тех решений, которые попали в отрезок оси равный половине периода (в нашем случае период равен я и в качестве такого отрезка можно, например, взять отрезок . Продемонстрируем оба способа проверки. (Будем проверять решения, подставляя их в уравнение (151.3), эквивалентное уравнению (151.1).)

а) Проверяем решения в общем виде.

1. . Вычислим . Дробь не имеет смысла при нечетном ибо тогда . При четном же она обращается в нуль. Следовательно, в качестве решений уравнения (151.1) нужно оставить следующую серию решений:

Вычислим Дробь обращается в нуль при любом . (Знаменатель дроби ни при каком в нуль не обращается.)

Итак, объединяя полученные результаты, получим окончательно, что уравнение (151.3), а следовательно и первоначальное уравнение (151.1), имеет две серии решений: которые можно объединить в одну серию первая серия решений составляет часть второй серии.)

б) Проверяем отдельные решения, лежащие в отрезке

Из серии в отрезок попадают следующие значения

Из серии в отрезок попадают следующие значения

Переходим к проверке этих значений. (Будем проверять решения, подставляя их в уравнение (151.3), эквивалентное уравнению (151.1).

1) х = 0. Тогда . Следовательно, - корень нашего уравнения.

2) . При этом значении обращается в нуль, и левая часть уравнения теряет смысл. Следовательно, не является корнем уравнения (151.1).

3) . Имеем Следовательно, корень уравнения (151.1).

4) . Получаем Следовательно, уравнения (151.1).

Итак, из серий предполагаемых решений исключаются значения и вообще значения вида

Объединяя полученные результаты, найдем окончательно, что уравнение (151.3), а следовательно, и первоначальное уравнение (151.1), имеет две серии решений: которые можно объединить в одну серию

Заметим, что решить это уравнение удалось благодаря определенному соотношению между аргументами тангенсов Поэтому большой общности наш прием, как и сходные приемы, показанные ранее в пп. 149, 150, не имеет.