131. Функция y = arccos x (арккосинус).
Функция 
определена на всей оси 
и изменяется в отрезке 
оси 
Если мы поставим вопрос об определении тех 
при которых 
, где 
то увидим, что эта задача решается неоднозначно. На рис. 129 видно, что существует бесконечно много значений аргумента 
обладающих тем свойством, что 
где 
Рис. 129.
Для того чтобы мы могли ввести функцию, обратную по отношению к функции 
нам нужно взять наибольший отрезок оси 
на котором она или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция 
монотонно возрастает от —1 до +1 на любом отрезке вида 
, где 
она монотонно убывает от +1 до —1 на любом отрезке вида 
где 
В качестве отрезка оси 
на котором рассматривается функция 
и обратная к ней функция, обычно берут отрезок 
. На этом отрезке функция 
монотонно убывает, принимая все значения от +1 до —1. Следовательно, для любого 
из отрезка 
оси Оу найдется, и притом только одно, значение 
из отрезка 
такое, что 
, т. е. для функции 
на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арккосинусом и обозначать так: 
. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:
Пример 1. Найти 
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до 
, косинус которого равен 
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен — 
, например: 
и т. д.
Но нас интересует только тот аргумент, который находится в отрезке 
. Таким аргументом будет 
. Итак, 
Пример 2. Найти 
.
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим 
График функции 
симметричен с графиком функции 
относительно биссектрисы I—III координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).
Рис. 130.
Свойства функции 
вытекают из соответствующих свойств функции 
на отрезке 
и видны из графика на рис. 130.
Перечислим эти свойства:
1) Область определения: отрезок 
2) Область изменения: отрезок 
.
3) Функция у 
ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество
4) Функция 
монотонно убывающая.
5) График пересекает ось 
в точке (1, 0), а ось 
в точке 
.
6) 
на всем отрезке [-1, 1].
