§ 4. Многогранники

245. Многогранники.

Многогранник определяется как часть пространства, ограниченная со всех сторон плоскими гранями. Предполагается, что многогранник ограничен замкнутой поверхностью, составленной из многоугольников, так, что любая сторона каждого многоугольника является также стороной еще одного и только одного многоугольника и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо общую вершину, либо не имеют общих точек. Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников, ограничивающих многогранник (по условию каждая из них принадлежит одновременно двум граням), — ребрами многогранника; вершины этих многоугольников — вершинами многогранника. Для трех многогранников на рис. 361, а, б, в числа вершин, ребер и граней соответственно равны 7, 11, 6; 8, 12, 6; 11, 20, 11. Если обозначить эти три числа через то во всех случаях

Это соотношение сохраняется для любых многогранников (теорема Эйлера).

Многогранники классифицируют по числу граней. При этом часто используют греческие наименования: четырехгранник называют тетраэдром, пятигранник — пентаэдром, шестигранник - гексаэдром и т. д.

Рис. 361.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из своих граней. Мы рассматриваем исключительно выпуклые многогранники. Все многогранники на рис. 361 выпуклые.

В каждой из вершин многогранника его грани (точнее, плоскости этих граней) образуют многогранные углы.