Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ
§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге
210. Углы с вершиной на окружности.
Рассмотрим угол, вписанный в окружность, т. е. угол, образованный двумя ее хордами, исходящими из одной точки окружности (рис. 279).
Рис. 279.
О таком угле АМВ с вершиной М на окружности говорят, что он опирается на дугу АВ (не содержащую вершины угла!). Справедлива следующая
Теорема. Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство удобно провести отдельно для следующих трех случаев:
1) Одна из хорд — сторона угла — проходит через центр окружности (рис. 279, а). Проведя радиус ОВ, увидим, что центральный угол АОВ, опирающийся на ту же дугу АВ, что и заданный, является внешним углом равнобедренного треугольника ВОМ и потому равен удвоенному углу АМВ: 
АОВ 
отсюда видно, что 
измеряется половиной дуги АВ.
2) Пусть теперь центр окружности лежит внутри заданного угла, как на рис. 279, б. Диаметр, проведенный через вершину данного угла, разобьет его на две части.
Для каждой из них в отдельности находим (см. случай 
измеряется половиной дуги AN, угол 
- половиной дуги NB. Данный угол, равный их сумме, будет измеряться половиной всей дуги АВ.
3) Пусть, наконец, центр окружности лежит вне угла АМВ (рис. 279, в). В этом случае также проводим диаметр через вершину угла; отличие от случая 2) состоит лишь в том, что данный угол придется рассматривать не как сумму, а как разность двух углов.
Особо важный случай доказанной теоремы:
Угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, прямой.
Действительно, он опирается на полуокружность и измеряется ее половиной, т. е. равен 90°.
Рассмотрим еще угол между касательной к окружности в некоторой ее точке и секущей, проведенной через ту же точку (рис. 280). Здесь справедливо подобное же утверждение:
Угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри измеряемого угла.
Доказательство предоставляем читателю.
Рис. 280.
Рис. 281
