244. Многогранные углы.

Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, разбивают пространство на части, каждая из которых может быть названа многогранным углом. Мы сохраним название многогранного угла лишь за такой фигурой, ограниченной, несколькими гранями (плоскими углами) с общей вершиной (рис. 360), для которой каждый из плоских углов, являющихся гранями угла, меньше развернутого.

Если еще потребовать, чтобы весь многогранный угол лежал по одну сторону от плоскости каждой из своих граней, то назовем его выпуклым многогранным углом. Все то немногое, что мы здесь сообщаем о многогранных углах, относится к выпуклым углам.

Между многогранными углами и многоугольниками можно найти известные аналогии, как это сделано для трехгранных углов и треугольников. При этом сторонам и углам многоугольника отвечают соответственно плоские и двугранные углы многогранного угла.

Рис. 360.

Тем же способом, как это было сделано для трехгранного угла, показывается, что сумма плоских углов при вершине многогранного угла (выпуклого) всегда меньше четырех прямых.

Сумма двугранных углов -гранного угла заключена между

К первому значению она приближается для очень сплющенных «тупых» углов, ко второму — для очень «острых», иглообразных углов.

Правильный -гранный угол определяется требованием равенства всех плоских и всех двугранных углов. Правильным всегда является угол при вершине любой правильной пирамиды

Нетрудно доказать, что у всякого правильного -гранного угла биссекторные плоскости его двугранных углов пересекаются по одной прямой — оси симметрии угла. Сечение правильного гранного угла плоскостью, перпендикулярной к этой оси, будет правильным -угольником.