§ 5. Формулы приведения

105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.

Углы назовем дополнительными до если Сходными (по названию) тригонометрическими функциями будем соответственно называть синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс.

Теорема. Сходные тригонометрические функции дополнительных углов равны между собой.

Доказательство. Докажем сначала, что

Предположим для определенности, что ; тогда угол удовлетворяет неравенствам

Рис. 109.

Построим теперь с помощью подвижного единичного радиуса-вектора углы

Заметим, что (они прямоугольные, имеют равные гипотенузы и равные острые углы:

Из равенства треугольников имеем . Следовательно, откуда но в силу нечетности синуса и мы имеем .

Аналогично доказывается, что .

Для остальных функций можно доказательство вести так:

При выводе формул (105.3) и (105.4) мы пользовались только что доказанными формулами (105.1) и (105.2).

Замечание 1. При доказательстве теоремы мы считали, что угол а задан в радианах. Соответствующие формулы для угла а, измеренного в градусной мере, легко получить из формул (105.1) — (105.4), заменив на 90°.

Замечание 2. При доказательстве теоремы мы предположили для определенности, что угол а удовлетворяет неравенствам . Можно показать, что теорема остается в силе и в случае любого угла а (как положительного, так и отрицательного).

Пример. Заменить данные тригонометрические функции тригонометрическими функциями дополнительного угла: