59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).
Алгебраическое уравнение второй степени записывается в общем виде так:
и обычно называется квадратным уравнением. Коэффициенты уравнения называют: а — первым или старшим коэффициентом, 
- вторым или средним коэффициентом, с — свободным членом (или третьим коэффициентом).
Так как число корней алгебраического уравнения в комплексной области равно степени уравнения, то следует ожидать, что квадратное уравнение (59.1) будет иметь два корня. Поскольку мнимые корни всегда появляются парами (комплексно сопряженные корни), то имеется три возможности:
1) уравнение (59.1) имеет два действительных (различных) корня;
2) уравнение (59.1) имеет кратный (двойной) действительный корень;
3) уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней. Эти предварительные заключения подтвердятся в процессе отыскания корней уравнения.
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения (59.1) на 
и получим равносильное уравнение вида
(здесь 
). Уравнение (59.2) со старшим коэффициентом, равным единице, называют приведенным квадратным уравнением.
Для того чтобы решить его, прибавим к обеим его частям число 
тем, чтобы члены 
образовали точный квадрат двучлена 
и получим равносильное уравнение
откуда
Имеется существенное различие между случаями, когда число 
входящее в левую часть равенства (59.3), положительно, равно нулю или отрицательно. Если 
, то можно написать
имея в виду, что 
- арифметическое значение корня квадратного из 
. Если 
, то также можно написать
Если же 
то можно представить 
как 
. Будем и в этом, принципиально отличном, случае писать 
подразумевая под 
чисто мнимое число 
Теперь во всех случаях имеем
Разложим левую часть равенства (59.4) с помощью формулы для разности квадратов:
откуда
либо
Равенства (59.6), (59.7) и дают нам значения двух корней 
уравнения (59.4), а следовательно, и приведенного квадратного уравнения (59.2):
Обычно эти две формулы объединяют в одну:
Здесь, как указано в процессе вывода, в случае 
под 
понимают 
.
Если вернуться к исходному уравнению (59.1) (будем его называть неприведенным квадратным уравнением), то в формуле (59.8) придется заменить 
через 
и q через 
после несложных преобразований получим формулу для корней неприведенного квадратного уравнения (59.1):
Если коэффициент b в уравнении (59.1) обозначен через 
т. е. уравнение записано в виде
то формула (59.9) принимает более простой вид:
Пример 1. Решить квадратные уравнения: 
Решение, а) Применим формулу (59.8) для приведенного квадратного уравнения:
Корни действительные и различные: 
.
б) Применим формулу (59.11) (используя, что 
Корни: 
в) Имеем по формуле (59.11)
откуда 
корни данного уравнения оказались иррациональными числами.
г) С помощью формулы (59.11) найдем
Корни уравнения комплексно сопряженные: 
д) По формуле (59.11) имеем
Уравнение имеет равные корни: 
(иначе говорят, что оно имеет корень 
кратности два). Это можно было бы заметить сразу, записав левую часть уравнения как полный квадрат: 
Формулы (59.8), (59.9) и (59.11) пригодны, разумеется, и для решения квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.
Пример 2. Решить следующие уравнения: а) 
Решение, а) По формуле (59.11) имеем
Отсюда
б) Пользуясь формулой (59.9), найдем
Таким образом,
