§ 4. Преобразование в произведение сумм вида

125. Основные формулы.

При вычислении различных выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью таблиц логарифмов и логарифмической линейки удобно иметь дело с произведениями, а не с суммами. Выведем ряд формул, которые позволяют от сумм переходить к произведениям.

а) Сумма синусов. Запишем формулу (123.1) в виде

и положим в ней Заметим, что следовательно,

Сумма двух синусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.

Пример

Пример

б) Разность синусов. Заменив в формуле (125.1) на , получим, учитывая нечетность синуса,

Разность двух синусов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы их аргументов.

Пример

Пример

в) Сумма косинусов. Запишем формулу (123.2) в виде

и положим в ней . Мы уже видели, что следовательно,

Сумма двух косинусов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности их аргументов.

Пример

Пример

Разность косинусов. Из формулы (123.3), аналогично предыдущему, получается формула

Разность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус обратной полуразности их аргументов.

Пример

Пример

д) Сумма тангенсов. Перейдя к синусам и косинусам, получим

Итак,

Пример 9.

Пример 10.

е) Разность тангенсов. Заменив в формуле (125.5) Р на — р, будем иметь, учтя четность косинуса и нечетность тангенса,

Пример 11. Преобразовать по формуле (125.6) и вычислить, используя таблицу тригонометрических функций (приложение II),

Решение, . В нашей таблице нет значений функций для аргументов 0,55 и 0,15, поэтому, воспользовавшись формулой (123.2), перейдем к полусумме косинусов, но уже от аргументов, которые имеются в таблице:

Теперь имеем .

Пример 12.

Замечание. Последние две формулы (125.5) и (125.6) имеют смысл для аргументов , отличных , где — целое число.

126. Примеры.

Пример 1. Преобразовать в произведение выражение

Решение. Заменив по формуле приведения на перейдем к сумме косинусов и воспользуемся формулой (125.3):

Пример 2. Преобразовать в произведение Решение. Перейдя к sina и cosa, получим

Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования,

Решение. Заменив по формуле приведения на и воспользовавшись формулой (126.1), получим

Далее, будем иметь

Последнее выражение можно упростить, если заметить, что . Теперь будем иметь

Пример 4. Привести к виду, удобному, для логарифмирования,

Решение. Воспользовавшись формулой (125.3), получим Согласно формуле откуда и мы имеем

Пример 5. Доказать тождество

Решение. Заметим, что После этого преобразуем левую часть предполагаемого тождества:

Следовательно, наше тождество доказано. Мы исключили из рассмотрения те значения аргумента а, при которых выражение или, что то же самое, равно нулю. Пример 6. Проверить, что . Решение. Заменив по формуле приведения на на и воспользовавшись формулой (126.1), получим

Заметив, что мы приходим к равенству Итак, .

Упражнения

Преобразовать суммы функций в произведения:

8. Вычислить:

Привести к виду, удобному для логарифмирования:

Доказать тождества:

Проверить равенства: