134. Пример.

Построим график функции

1) Область определения: функция определена для удовлетворяющих неравенству

Последнее неравенство удовлетворяется при

2) Область изменения значений функции: так как

3) Функция четная, так как

4) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью функция не может иметь точек пересечения, так как она определена только при

б) с осью она пересекается в точках и (1, 0) (нули функции), так как лишь при

5) Наименьшее и наибольшее значения функции в области определения. В силу четности функции достаточно ее исследовать для . Если , то Если то следовательно, причем

Итак, при при функция принимает наименьшее значение, равное нулю, а при (и при ) стремится к оставаясь меньше . Ни при каком х не выполняется равенство т. е. наибольшего значения наша функция не имеет.

6) Интервалы знакопостоянства: функция всюду в области определения неотрицательна, т. е.

Для построения графика функции найдем некоторые опорные его точки, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции.

Так как функция четная, то достаточно построить ее график для , а затем продолжить его симметрично относительно оси для Составим таблицу значений функции точностью до 0,01) для некоторых «хороших» значений с непостоянным шагом

Соединив полученные опорные точки плавной линией и учтя, что прямая является горизонтальной асимптотой при мы получим график функции у на бесконечном полуинтервале

Рис. 135.

Продолжив его четным образом на бесконечный полуинтервал , мы получим график функции во всей области ее определения (рис. 135).

Упражнения

Найти значения обратных тригонометрических функций:

Построить графики функций: