198. Средняя линия трапеции.

Проведем диагональ АС трапеции ABCD (рис. 247) и построим средние линии PL и РМ треугольников ABC и ACD, на которые эта диагональ разбивает трапецию. Эти средние линии будут лежать на одной прямой. Действительно, обе они, по определению средней линии треугольника, проходят через середину стороны АС, общей для треугольников ABC и ACD.

Кроме того, каждая из средних линий PL и РМ параллельна одному из оснований трапеции, а значит, обоим основаниям одновременно. Так как через точку Р проходит единственная прямая, параллельная основаниям, то обе средние линии лежат на ней. Они продолжают друг друга и образуют отрезок LM, соединяющий середины боковых сторон трапеции; такой отрезок называется средней линией трапеции и параллелен ее основаниям.

Свойство средней линии трапеции;

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Доказательство. По свойству средней линии треугольника (рис. 247) имеем

откуда находим

что и требовалось доказать.

Задача. Большее основание трапеции равно а, меньшее равно b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение. Искомый отрезок PQ (рис. 247) лежит на средней линии трапеции (объясните, почему). Находим

откуда .

Рис. 247,

Рис. 248.