36. Функции нескольких переменных.

Схема представления зависимостей величин в природе с помощью функций одной переменной является очень упрощенной; в действительности значения данной интересующей нас величины зависят от многих факторов (определяются значениями ряда других величин). Возьмем в качестве примера уравнение состояния идеального газа

Это уравнение связывает три (вообще говоря, переменные) величины: давление Р, температуру Т, объем V. Если ограничиться изучением изотермических процессов , то можно будет объем считать функцией давления:

Если рассматривать изобарические процессы то придется уже объем считать функцией температуры:

и т. д. В общем же случае объем V надо рассматривать как функцию двух переменных Р, Т:

Дадим определение функции двух переменных (случай функции большего числа переменных трактуется аналогично). Величина z называется функцией двух переменных х, у (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции z = f(x, у)), если каждой паре значений х, у (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение z.

Поскольку пара значений аргументов х, у может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.

Пример. Функция задана аналитическим выражением:

найти ее область определения (т. е. о. д. з. соответствующего выражениями изобразить ее графически.

Решение, а) Функция определена при . Соответствующая область — четвертый квадрант (включая ограничивающие его лучи координатных осей), рис. 23, а.

б) Здесь или Это условие определяет множество точек, расстояние которых от начала О меньше единицы.

Рис. 23.

Такие точки заполняют внутренность круга с центром в О и радиусом, равным единице (точки окружности в область не входят), как показано на рис. 23, б.

Упражнения

1. Найти область определения следующих функций:

2. Найти функции, обратные по отношению к следующим функциям:

3. Показать, что функция совпадает со своей обратной функцией.

4. Записать в виде сложных функций (введя промежуточный аргумент следующие функции:

5. Найти область определения функций и изобразить ее графически: