§ 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a

119. Тригонометрические функции двойного аргумента.

Положив в формулах (116.1), (115.4) и (117.1) , мы получаем следующие формулы:

Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента.

Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.

Пример 1. Упростить выражение

Решение. Мы уже решали этот пример в п. 99. Используя формулы (99.9), (99.10) и (119.1), имеем

Подставив (119.5) и (119.6) в (119.4), получаем

Замечание. Формулы (119.5) и (119.6) можно получить и так:

Формулы (119.1) — (119.3) можно использовать для любого аргумента а, считая его двойным для аргумента . Например:

Прпмер 2. Упростить выражение .

Решение. Умножим числитель и знаменатель на и заменим tg a по формуле (119.9), тогда получим

Пример 3. Доказать, что

Решение. Заметим, что

Преобразуя левую часть тем же способом и далее, получим последовательно т. е. Тождество доказано.