218. Теорема синусов. Формула Герона.

Рассмотрим треугольник ABC с высотой опущенной из вершины С (рис. 300). Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание: Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как в случае острого угла а (рис. 300, а) или как в случае тупого угла а (рис. 300, б). В силу равенства в обоих случаях имеем Формула для площади треугольника примет вид

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Так, построение отрезка сводится к построению прямоугольного треугольника по двум его катетам, равным а и b. Тогда гипотенуза построенного треугольника и будет искомым отрезком.

Отрезок, выражаемый формулой где строится как катет прямоугольного треугольника со вторым катетом, равным b, и гипотенузой а (см. п. 189).

Отрезок равный среднему геометрическому двух данных отрезков, можно построить так. На произвольной прямой (рис. 295) отложим последовательно отрезки, равные данным

Рис. 295.

Рис. 296.

В точке К, где они примыкают друг к другу, восставим к ним перпендикуляр; если на этом перпендикуляре найти точку С такую, чтобы угол АСВ был прямым, то высота СК полученного прямоугольного треугольника и будет средним геометрическим данных отрезков. Поэтому берем середину О данного отрезка АВ и из нее, как из центра, проводим окружность радиусом, равным половине АВ (строим окружность на отрезке АВ, как на диаметре). Точка пересечения ее с перпендикуляром КС и будет искомой точкой С (угол АСВ прямой, так как он опирается на диаметр, см. п. 210). Итак, отрезок построен

Иначе можно решить ту же задачу так. Заметим, что имеет место равенство

Строим отрезки и задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и одному из катетов.

Пример. Построить отрезок, равный

Решение. Используем соотношение На одной из сторон прямого угла (рис. 296) отложим от вершины отрезок. ОА, равный 3, и из конца его на другой стороне сделаем засечку радиусом, равным 4. Отрезок, отсеченный на второй стороне прямого угла, и будет искомым:

Замечание. Задачу можно решить иначе, пользуясь соотношением выражающим искомый отрезок как среднее геометрическое отрезков 7 и 1.

Задача 1. Построить квадрат, равновеликий данному треугольнику

Указание. Строим прямоугольник, равновеликий данному треугольнику (например, прямоугольник с тем же основанием, что у данного треугольника, но с половинной высотой). Сторона искомого квадрата строится как среднее геометрическое сторон прямоугольника, т. е. а и

Задача 2. В прямоугольном треугольнике отрезки, на которые высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу, равны 6 и 18. Найти катеты и площадь треугольника.

Решение. Гипотенуза треугольника Катеты находятся как средние геометрические между гипотенузой и отрезками, на которые она разбита высотой: а Площадь равна

До сих пор при изложении геометрии мы нигде не пользовались тригонометрическими функциями. Дело в том, что введение тригонометрических функций угла основано на сведениях из теории подобия (например, на том, что отношения сторон треугольника не изменяются при подобном преобразовании); кроме того, основное тождество

широко используемое в тригонометрии, есть не что иное, как запись теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной единице.

Рис. 297.

После изучения этого пункта читатель имеет все сведения из курса геометрии, необходимые для чтения гл. VIII—XII первой части книги. В связи с этим в оставшейся части данной главы и в последующих главах мы уже считаем, что читатель знаком с основными фактами, относящимися к тригонометрическим функциям, хотя бы в объеме гл. VIII. В частности, предполагаются известными следующие соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (рис. 297):