38. Линейная функция.

Линейной функцией мы назвали функцию вида (37.2):

При она принимает вид

В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х (с коэффициентом пропорциональности равенство (38.2) задает прямую пропорциональную зависимость между х и у.

Отметим простейшие свойства функции функция определена при всех значениях график функции проходит через начало координат (при х = 0 имеем у = 0); 3) функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как

Чтобы построить график функции , проведем через начало координат прямую линию под углом к оси Ох (угол отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки; см. п. 8) таким, что .

Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положения: 1. Любая точка этой прямой есть точка графика функции. 2. Любая точка графика функции лежит на построенной нами прямой.

Возьмем любую точку прямой, отличную от начала координат (точка на рис. 24,а). Имеем для нее

- точка лежит на графике функции. Обратно, если для некоторой точки выполнено равенство то прямая, соединяющая эту точку с началом координат, наклонена к оси под углом т. е. совпадает с построенной нами прямой.

Рис. 24.

Таким образом, график функции у есть прямая, проходящая через начало координат под углом к оси Ох. В связи с этим коэффициент а прямой пропорциональности называют также угловым коэффициентом прямой, служащей графиком нашей функции. При прямая располагается в I и III квадрантах (угол острый; рис. 24, а), при она располагается во II и IV квадрантах (угол тупой; рис. 24, б), при прямая совпадает с Ох.

Для построения графика линейной функции (38.1) сравним ее с функцией (38.2) и заметим, что при любом значении величина у, т. е. ордината графика линейной функции , получится из ординаты графика функции прибавлением одного и того же слагаемого b. Отсюда ясно, что графиком функции (38.1) будет служить прямая линия, параллельная линии , служащей графиком функции (38.2). Эта прямая получается из прямой сдвигом на единиц вверх при или вниз при При имеем величина b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (рис. 25).

Доказано, что графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

Справедливо и обратное утверждение: всякая (не параллельная оси Оу) прямая на плоскости является графиком линейной функции (38.1).

Величины а и b называются, соответственно, угловым коэффициентом и начальной ординатой прямой, служащей графиком линейной функции (38.1). При линейная функция возрастает, при а < 0 - убывает, при является постоянной.

Для фактического построения графика с данными числовыми значениями коэффициентов а и b используем то, что прямая линия определяется любыми двумя своими точками.

Пример 1. Построить графики следующих линейных функций: а) .

Решение, а) Для построения прямой линии — графика данной функции найдем ее точки пересечения с осями координат.

Рис. 25.

Рис. 23.

Чтобы найти точку пересечения с полагаем в уравнении прямой и находим Аналогично, полагая получаем абсциссу точки, в которой прямая пересекает ось через полученные точки (0, —3) и (3/2, 0) проводим прямую (рис. 26).

б) В этом случае прямая проходит через начало координат и для ее построения достаточно найти еще одну точку. Положим, например, при этом значит точка принадлежит искомому графику. Построим прямую, проходящую через точки Л и О, она и является графиком данной функции (рис. 26).

в) В этом примере . Графиком функции служит прямая, параллельная оси Ох. В данном случае она удалена от этой оси на одну единицу масштаба и лежит под ней (рис. 26).

Произвольная прямая, не параллельная оси Оу, является графиком некоторой линейной функции.

Если прямая параллельна оси и пересекает ось в точке с абсциссой то все точки прямой имеют такую же абсциссу; прямая определяется уравнением

не содержащим у.

Можно вообще рассмотреть произвольное уравнение первой степени (линейное уравнение) относительно

Такое уравнение называется общим линейным уравнением. При оно, по существу, определяет у как линейную функцию

Если функция задана уравнением связывающим и у, которое не разрешено относительно у, то говорят, что функция задана в неявном виде; уравнение (38.4) задает линейную функцию в неявном виде.

Если то считаем и находим

т. е. получаем уравнение прямой, параллельной оси Окончательный вывод: общее линейное уравнение (38.4) всегда определяет. на плоскости прямую линию (предполагается, что А и В одновременно нулю не равны).

Рис. 27.

Пример 2. Построить прямые, заданные следующими уравнениями: д) .

Решение, а) Определим точки пересечения данной прямой с осями координат. Для этого в уравнении положим сначала , а затем у = 0. Найдем точки и проведем через эти две точки прямую (рис. 27). б) В уравнении отсутствует член с у. Поэтому оно задает прямую, параллельную оси ординат. Находим и строим прямую, параллельную оси ординат, расположенную слева от этой оси и отстоящую от нее на 5 единиц масштаба (рис. 27).