§ 4. Площади треугольников и четырехугольников

200. Площадь параллелограмма.

Общий метод, с помощью которого мы нашли в п. 168 выражение для площади прямоугольника в виде произведения его сторон, в принципе применим к любой плоской фигуре, но гораздо удобнее воспользоваться уже имеющейся формулой, заменив данную фигуру — в нашем случае параллелограмм — равновеликим ей прямоугольником, если, конечно, мы сумеем это сделать.

Обратимся к рис. 250, где изображен произвольный параллелограмм ABCD. Проведем его высоты ВК и CL из вершин одного из оснований. Образуется некоторый прямоугольник BCLK. Этот прямоугольник равновелик нашему параллелограмму, что видно из равенства прямоугольных треугольников АВК и DCL (доказать!).

Рис. 250.

Рис. 251.

Обе фигуры, прямоугольник и параллелограмм, состоят из общей для них части KBCD (трапеции) и равных треугольников (АВК для параллелограмма и DCL для прямоугольника), т. е. они равно составлены и тем более равновелики. Поскольку высоты и основания у параллелограмма и прямоугольника одинаковы, то получается окончательный результат:

где - основание параллелограмма, - его высота.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Пример. Найти площадь параллелограмма со сторонами 14 и 6 и острым углом 30°.

Решение. Высота, опущенная из вершины на большую сторону, будет катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 6, и противолежащим острым углом 30°. Такой катет равен половине гипотенузы, т. е. 3. Отсюда

В частности, для ромба можно указать и другую формулу для площади. Именно, рассматривая ромб ABCD (рис. 251), мы легко убеждаемся в том, что он равносоставлен с прямоугольником ACKL, построение которого достаточно ясно из рис. 251. Отсюда очевидно, что

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

где - диагонали ромба.