§ 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями

137. Функция у = arcsin (sin x).

Исследуем функцию и построим ее график.

1) Область определения (существования): функция определена для всех Напомним еще раз, что х — число, a -тригонометрическая функция числового аргумента.

2) Область изменения функции: из определения арксинуса следует, что

3) Сформулируем словесно правило, определяющее у по заданному каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции у из отрезка такое, что

Пример 1. . Здесь ибо

Пример 2. . Здесь так как Ошибкой являлось бы утверждение, что ибо аргумент не попадает в отрезок

4) Функция нечетна. В самом деле,

Следовательно,

5) Функция периодическая с периодом , так как - периодическая функция с основным периодом

6) График функция на отрезке ,

а) При имеем

6) При получим

Итак,

Построив график функции на отрезке его продолжаем симметрично относительно начала координат на отрезок учитывая нечетность данной функции. График функции, построенный уже на отрезке , мы, используя периодичность данной функции, продолжаем на всю числовую ось. График функции изображен на рис. 137.

Рис. 137.

Пример 3. Найти

Решение. Требуется найти угол а. лежащий в пределах от до синус которого равен . Заметим, что если угол удовлетворяет неравенствам равенство справедливо. В противном же случае последнее равенство не имеет места. В нашем же случае . Применив формулу приведения, получим Теперь уже угол удовлетворяет неравенствам и поэтому можно писать:

Следовательно,

Пример 4. Вычислить:

Решение. Воспользовавшись формулой будем иметь

После этого получим