Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

§ 1. Функции

130. Функция у = arcsin x (арксинус).

Рассмотрим функцию . Так как область определения этой , а область изменения значений — отрезок оси , то об обратной функции (по отношению к функции имеет смысл говорить только на отрезке оси например, известно, что , где . Сколько значений можно найти из последнего уравнения?

Рис. 127.

На рис. 127 видно, что существует бесконечно много значений аргумента обладающих тем свойством, что , где .

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции , достаточно рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси на котором функция или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция монотонно возрастает от —1 до например, на отрезке и вообще на любом отрезке вида , где . Она монотонно убывает от до —1 на любом отрезке вида где

На всей оси функция обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же из отрезков монотонности функция имеет обратную функцию. Остается теперь зафиксировать какой-либо из этих отрезков.

В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция и обратная к ней функция, обычно берут отрезок . Итак, рассмотрим функцию на отрезке . На этом отрезке функция монотонно возрастает, принимая все значения от до Следовательно, для любого из отрезка [-1, 1] оси Оу найдется, и притом только одно, значение из отрезка оси Ох такое, что , т. е. для функции на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арксинусом и обозначать так: . Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать у = arcsinx. (130.1)

Рис. 128.

Пример 1. Найти .

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от до синус которого равен 1/2.

Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен например: и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке Таким аргументом будет . Итак,

Пример 2. Найти .

Решение. Рассуждая так же, как и в примере 1, получим

По общему правилу (см. п. 35) график обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I—III координатных углов (рис. 21).

Свойства функции

1) Область определения: отрезок

2) Область изменения: отрезок

3) Функция нечетная: .

4) Функция монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси в начале координат.

Перечисленные свойства вытекают из свойств функции на отрезке .