Решение, а) Преобразуем квадратный трехчлен:
Вершина параболы — точка
ось — прямая
Вершина здесь — наинизшая точка графика (минимум и наименьшее значение функции получаются при
). Наметим еще точки пересечения графика с осями координат: при
имеем
. Если
, то
. По указанный данным парабола построена на рис. 44, а.
Рис. 44.
б) На рис. 44, б показан график второй функции
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (45.1).
Обозначим в равенстве (45.2) величину
через
называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (45.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.
1)
. Вершина графика.
лежит выше оси
поскольку
так как
, то график расположен выше вершины О; он лежит в верхней полуплоскости
рис. 45, а).
2)
. Вершина
лежит ниже оси
и является наивысшей точкой графика. Парабола расположена в нижней полуплоскости
рис, 45,6).
3)
. Вершина О лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось
в двух точках
(рис. 45, в).
Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлен
имеет два корня (нуля)
. При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями (рис. 45, в) и положителен вне этого интервала. При
он положителен в интервале между корнями (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.
Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств (пп. 61, 79),