45. График квадратного трех члена.

Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени (37.3):

где Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы Для эток приведем выражение (45.1) путем простых тождественных преобразований к виду

Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:

Мы привели квадратный трехчлен к виду (45.2); при этом

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (45.1) к виду (45.2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена - парабола, равная параболе и получаемая сдвигами параболы у в направлениях осей координат на а и (с учетом знака а и ) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке ее осью служит прямая . При вершина — наннизшая точка параболы, при наивысшая.

Пример. Построить графики функций: .

Решение, а) Преобразуем квадратный трехчлен:

Вершина параболы — точка ось — прямая Вершина здесь — наинизшая точка графика (минимум и наименьшее значение функции получаются при ). Наметим еще точки пересечения графика с осями координат: при имеем . Если , то . По указанный данным парабола построена на рис. 44, а.

Рис. 44.

б) На рис. 44, б показан график второй функции

Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (45.1).

Обозначим в равенстве (45.2) величину через

называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (45.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.

1) . Вершина графика. лежит выше оси поскольку так как , то график расположен выше вершины О; он лежит в верхней полуплоскости рис. 45, а).

2) . Вершина лежит ниже оси и является наивысшей точкой графика. Парабола расположена в нижней полуплоскости рис, 45,6).

3) . Вершина О лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось в двух точках (рис. 45, в).

4) . Вершина О лежит выше оси парабола снова пересекает ось в двух точках (рис. 45, г).

5) . Вершина лежит на самой оси парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. 45, д).

Рис. 45.

6) . Вершина снова лежит на оси но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 45, е).

Выводы. Если то график функции весь лежит либо выше (при а > 0), либо ниже (при а < 0) оси абсцисс. Функция знакопостоянна. Если d = 0, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси Ох (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль).

Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлен имеет два корня (нуля) . При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями (рис. 45, в) и положителен вне этого интервала. При он положителен в интервале между корнями (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.

Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств (пп. 61, 79),