165. Измерение углов.

Мы видели, как можно сравнить по величине два угла, и познакомились с понятием равенства двух углов. В Частности, легко заметить, что

1) все полные углы равны между собой;

2) все развернутые углы равны между собой;

3) все нулевые углы равны между собой.

Далее, над углами, так же как и над отрезками, можно производить действия сложения, вычитания, умножения на число. Так, чтобы сложить два угла (меньших развернутого) следует приложить один угол к другому так, чтсбы вершины их совместились и стороны КС и MB совпали, а сами углы расположились по разные стороны от MB. Тогда угол будет рассматриваться как сумма двух данных углов. Если имеется большее число слагаемых углов (меньших развернутого), то не исключено, что их сумма будет больше полного угла (об углах, больших полного, и об отрицательных углах см. пп. 95, 96).

Действие вычитания углов также имеет очевидный смысл.

На рис. 171 показано умножение угла на число: угол а, сложенный с равными ему углами , дает угол AOD, равный . В свою очередь угол а можно считать одной третью угла .

Для таких действий над углами остаются справедливыми законы арифметики: если к равным углам прибавить равные углы, то получатся равные углы; если из равных углов вычесть 1 равные углы, то останутся равные углы, и т. д.

В частности, отсюда вытекает свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Рис. 171.

Рис. 172.

Действительно, оба они получаются из развернутого угла вычитанием одного и того же угла, смежного с каждым из них.

Два угла, составляющие в сумме развернутый угол, называются дополнительными. Ясно, что смежные углы являются дополнительными.

Угол, равный смежному с ним, составляет тем самым половину развернутого угла. Такой угол называется прямым углом и обозначается через d (рис. 172).

Все прямые углы равны между собой.

Развернутый угол равен двум прямым, т. е. , а полный — четырем прямым: .

Две прямые, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными прямыми; очевидно, что все четыре угла, образованные такими прямыми, - прямые углы (подробнее о перпендикулярных прямых см. п. 169).

Прямая, перпендикулярная к другой прямой, делит развернутый угол на две равные части. В более общем случае, когда дан некоторый угол СОА (рис. 173), прямая LK, делящая его на две равные части, называется биссектрисой этого угла.

Биссектриса LK делит на две равные части также и угол DOB (углы СОА и DOB — вертикальные).

Задача. Доказать, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Решение. Рассмотрим два смежных угла (рис. 173) и их биссектрисы ОМ и ОК. Имеем

т. е. угол между биссектрисами прямой, что и требовалось доказать.

Как и измерение отрезков и любых других величин, измерение углов должно начинаться с выбора единицы измерения; имеется несколько принятых способов измерения углов, основанных на том или ином выборе единицы измерения.

Рис. 173.

Наиболее распространен в качестве единицы измерения углов угол в один градус, составляющий одну девяностую долю прямого угла; будучи приложен к себе последовательно девяносто раз, он образует прямой угол. В силу исторически сложившихся обстоятельств принято подразделятв градус на шестьдесят минут, одну минуту — на шестьдесят секунд, а уже секунду делить на десятые, сотые и т. д. доли.

Теперь весь процесс измерения угла протекает так. Укладываем угол в один градус в данный угол наибольшее возможное число раз. В остатке, если таковой имеется, укладываем угол в одну минуту; новый остаток измеряем углом в одну секунду и т. д. Если, например, угол а оказался равным 30 градусам, 18 минутам, 23,6 секунды, то пишут .

Ясно, что геометрическое сложение и вычитание углов соответствует арифметическому сложению и вычитанию их мер.