181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров.
Задача 1. Дан отрезок АВ. Построить точку С, делящую этот отрезок на две равные части.
Решение. Пусть дан отрезок АВ (рис. 207). Требуется разделить его пополам, т. е. построить его середину. Мы пользуемся линейкой без делений и потому не можем применять способ, связанный с измерением длины отрезка и делением ее пополам. Вместо этого поступаем так. Из конца А отрезка АВ, как из центра, описываем окружность произвольным радиусом, превышающим половину длины отрезка (проще всего взять радиус, равный самому отрезку АВ). Тем же радиусом описываем окружность с центром В. Эти окружности равного радиуса пересекутся в двух различных точках К и L, так как сумма их радиусов превосходит (по построению) расстояние АВ между их центрами. Соединим эти точки отрезком 
. Он пересечет данный отрезок в его середине, т. е. в искомой точке С. Действительно, каждая из точек 
равноотстоит от концов А и В данного отрезка и потому (свойство перпендикуляра, построенного в середине отрезка) лежит на перпендикуляре, восставленном из середины отрезка АВ.
Попутно решена
Задача 2. Восставить перпендикуляр к отрезку АВ в его середине.
Задача 3. Опустить перпендикуляр из данной точки М на прямую а.
Решение. Из данной точки М, как из центра, опишем дугу окружности достаточно большим радиусом (например, больше 
где 
- какая-либо точка прямой а) так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках 
(«сделаем засечки на а», рис. 208). Точки A и В по построению равноудалены от М, и потому М лежит на перпендикуляре к а, построенном в середине отрезка АВ. Для завершения построения остается из точек А и В, как из центров, провести дуги окружностей, например, тем же радиусом R до их пересечения в точке М (вторая точка пересечения, в данном случае М, нам уже известна), линия ММ и будет искомым перпендикуляром.
Задача 4. В данной точке М прямой восставить к ней перпендикуляр.
Указание. Из данной точки М, как из центра, сделаем на прямой засечки произвольным радиусом (т. е. отложим от М в обоих направлениях равные отрезки МА и MB). Теперь искомый перпендикуляр будет перпендикуляром в середине отрезка АВ.
Рис. 208.
Рис. 209.
