20. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых часто встречающихся случаях применяют формулы сокращенного умножения двух многочленов; напомним эти формулы.

а) Квадрат суммы и квадрат разности. Квадрат двучлена (бинома) а + b можно записать в виде

На основании правила умножения многочленов можно раскрыть стоящие справа скобки, а именно каждый член первого бинома умножить на каждый член второго бинома и результаты сложить. Получим

или после приведения подобных членов

Формулу (20.1) иногда записывают в виде

Заменив в формуле (20.1) (или (20.2)) b на —b, получим, соответственно, формулы для квадрата разности:

или

Формула (20.2) для квадрата двучлена (бинома) распространяется на случай, когда в квадрат возводится любой многочлен (полином). Покажем это для случая трехчлена. Имеем

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учетом правила знаков!).

Пример. Раскрыть скобки в выражении .

Решение. Имеем

После приведения подобных членов запишем ответ:

б) Куб суммы и куб разности. Чтобы вывести формулу для , заметим, что

Но выражение для уже найдено — (20.2); поэтому

Перемножая почленно многочлены, стоящие в правой части этого равенства, получим

Последний результат можно переписать так:

Заменив в формуле куба суммы (20.6) b через —b, напишем формулу куба разности:

В некоторых случаях формулам (20.6) и (20.7) удобней придать следующий вид:

в) Разность квадратов. Следующая формула!

легко проверяется умножением двучленов в ее левой части.

г) Сумма и разность кубов. Также рекомендуется проверить самостоятельно следующие формулы:

Трехчлены в левых частях равенств (20.11), (20.12) часто называют «неполным квадратом» разности или суммы соответственно.