104. Периодичность тригонометрических функций.

Одним из важных свойств тригонометрических функций является свойство периодичности, с которым мы в общем виде познакомились в п. 103. Докажем следующую теорему о периодичности тригонометрических функций.

Теорема. Тригонометрические функции являются периодическими функциями, причем основной период функций равен , а основной период функций tg a равен .

Доказательство. В пп. 95 и 96 мы ввели углы вида где — целое число (положительное, отрицательное или нуль). В радианной мере эти углы можно записать в виде где — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). Напомним, что все углы при разных значениях , но одном и том же а имеют общие начальную и конечную (ОЕ) стороны (см. п. 96). Если воспользоваться первой из формул (97.11) для определения синуса, то получим

если воспользоваться второй из формул (97.11) для определения косинуса, то получим

так как соответствующие значения х и у для угла а и углов одинаковы (рис. 107).

Рис. 107.

Аналогичный результат получается и для других тригонометрических функций. Мы приходим к следующим формулам:

где

Этим уже доказано, что является периодом для всех основных тригонометрических функций. Покажем, что для тангенса и котангенса справедливы также следующие формулы:

Рассмотрим два случая.

а) , т. е. — четное число . В этом случае имеем

Здесь мы использовали полученные ранее формулы (104.1).

б) т. е. — нечетное число . В этом случае имеем

Здесь мы использовали формулы (104.1).

Из геометрических соображений (рис. 108) следует, что у где х и у — координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора , образующего с осью абсцисс угол а, а координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора образующего с осью абсцисс угол имеем

Рис. 108.

Аналогично получаем

Следовательно, при любом имеем

Для углов в градусной мере аналогичные формулы получим, заменив в формулах на и в формулах (104.2) пп на Этим доказано, что я (или 180°) — период для функций и ctga. Остается доказать, что -основной период для sina, cosa, seca и coseca, а — основной период для и ctga. Докажем это только для sina, а для остальных основных пяти функций советуем это сделать читателю.

Доказательство. Требуется показать, что - наименьший положительный угол такой, что для всех а выполняется равенство Проведем доказательство от противного. Допустим, например, что существует угол А такой, что

Так как в последнем равенстве а может быть любым (ведь это равенство, по предположению, выполняется тождественно), то должно выполняться, например, равенство

Но только для. аргументов а вида где Следовательно, должно выполняться равенство откуда следует, что Мы пришли к противоречию, предположив, что

Для а наше утверждение доказано. Аналогично оно доказывается и для других тригонометрических функций.

Упражнения

1. Угол Найти значения основных тригонометрических функций.

2. Угол Найти значения основных тригонометрических функций.

3. Показать, что следующие функции:

являются четными.

4. Показать, что следующие функции:

являются нечетными.

5. Указать, какие из следующих функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:

6. Указать периодические функцни среди следующих функций: а)

7. Указать основной период (если он существует) следующих функцич: