250. Площадь боковой поверхности призмы.

Боковые грани произвольной призмы суть параллелограммы, и потому площадь этих граней вычисляется по известным правилам. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней. Для того чтобы написать формулу, выражающую площадь боковой поверхности призмы (вообще говоря, наклонной), рассмотрим нормальное сечение призмы (рис. 382). Так как плоскость нормального сечения по определению перпендикулярна к ребрам призмы, то отрезки, по которым она пересекает боковые грани призмы, служат высотами этих граней, если за основания их приняты ребра призмы. Площади отдельных граней будут выражаться равенствами

Складывая все эти равенства почленно и вынося за скобки найдем

или, учитывая, что сумма в скобках есть периметр нормального сечения, окончательно получим

Боковая поверхность призмы равна произведению ее бокового ребра на периметр нормального сечения.

В случае прямой призмы эта формулировка упрощается. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению бокового ребра на периметр основания призмы.

Задача. Правильная прямая трехгранная призма с ребром основания, равным а, усечена наклонной плоскостью. Длины боковых ребер усеченной призмы суть . Найти площадь боковой поверхности усеченной призмы.

Решение. Боковые грани усеченной призмы суть трапеции (прямоугольные). Применим к каждой из них формулу для площади трапеции. Находим

и площадь боковой поверхности равна .

Рис. 382.

Рис. 383.