Перейдем теперь к изложению некоторых специальных предложений из теории циклов. Мы понимаем, как уже упоминалось, под циклическими координатами попросту такие, которые не входят в недифференцированном виде ни в выражения для живой силы, ни в выражения для действующих сил или в имеющиеся уравнения связей. Также упоминалось, что

нет сил в обччном смисле механико и кога отсутстпуют условия, ограничипрелелах. Наоборот, перемениая, которая определяет положение центрокоораинатой в расширенном герцевском смисле; эта коораната, хотя она сама и может воорастат неограничено с воорастанием времени, все же при всякои обстомтельстах определяет конечное дивкение. которая определяет подиино циклическое дикжение, т. е. если она меняется при сохранении постомних зичений другияи коордитами, то на место щаяся в том же направлении с той же скоростью, в чем и состоит привик подчинно циястиеского диожения. деления положения точек системи, весмма мал; эті послетиие перемениме ческох скоростей, происхозичие за промежутои времени, в течение которых чителин, все еще очень мали. В этом случае ми буаем систему назмать циксической системой шли, еще короче, цикслом.

Если, вдобавок, двикение системы конечиое, то ми назовем ке конечнам назовем систему подииним циклом. Если гмется тольо оди независимая ческох переменимх, то ми имеем п-виял.

Таком образом, в случае подииного цисла, пока параметрн сохранякт взвне состомнии цисла, несмотря на то, что витри него происходит оживленшли на совершенно однородной жизвести, протекамей по замконутой трубке. изменение силы тока или механическое изменение положения проволоко, по которой ияет злектричесіой ток, а такоке меуленное диокение или деформация вращамещегося тела или канала, по которому течет весомая жомост. вволя при этом ряд упрощений. Предположия опят, что чика состоит из

творять больше никаким уравнениям связей. Эти $n$ материальных точек соответствуют тем, которые мы и раньше, в §§ 45-47, называли $n$ материальными точками.

Так как $p_{b}$ не входят в конечном виде в выражение для $T$, то обобщенные силы, соответствующие циклическим координатам $p_{b}$ (циклические силы), выражаются так:
\[
P_{b}=\frac{d q_{b}}{d t},
\]

где
\[
q_{b}=\frac{\partial T}{\partial p_{b}^{\prime}} .
\]

Силы $P_{b}$ соответствуют добавочным силам $\S \S 45-47$; энергию, подводимую к циклу через эти силы, мы назовем циклически подведенной; она соответствует подведенному теплу.

Далее, так как члены, содержащие вторые производные по времени от $p_{b}$ или $p_{a}$, а также члены первого или, тем более, второго порядка относительно $p_{a}^{\prime}$ можно рассматривать как исчезающе малые по сравнению с теми членами, которые содержат только $p_{a}$ и $p_{b}$, то обобщенные силы, соответствующие параметрам $p_{a}$, будут:
\[
P_{a}=-\frac{\partial T}{\partial p_{a}} .
\]

Так как $T$ есть однородная квадратичная функция $p_{b}^{\prime}$, то все $p_{b}^{\prime}$ и $p_{a}$ могут оставаться постоянными, а следовательно, может быть $p_{b}^{\prime \prime}=p_{a}^{\prime}=0$, если все $P_{b}$ исчезают. Наоборот, если это имеет место, то $P_{a}$, вообще говоря, имеют значения, отличные от нуля. Мы будем подразделять на различные классы обобщенные силы, соответствующие параметрам $p_{a}$. Они могут быть отчасти результатом взаимодействий $n$ точек, а отчасти результатом действия других материальных точек, которые соответствуют $n^{\prime}$ точкам $\S \S 45-47$ и подобно им предполагаются раз навсегда закрепленными в пространстве; эти точки мы будем называть неподвижными материальными точками. Впрочем, как и раньше, они могут быть причислены к $n$ материальным точкам. Все эти силы, как происходящие от взаимодействия $n$ точек, так и от действия имеющихся неподвижных точек, мы будем называть внутренними силами; они во всяком случае должны иметь склерономную силовую функцию, которую мы опять обозначим через $F$. Таким образом, все происходящие отсюда составляющие сил $P_{a}$ будут равны – $\frac{\partial F}{\partial p_{a}}$.

К этим силам, для того чтобы $p_{a}$ оставались постоянными, вообще говоря, должны быть присоединены еше другие силы, которые мы обозначим через $\mathfrak{P}_{a}$ и будем называть внешними обобщенными силами. Материальные точки, от которых исходят эти силы, соответствуют $v$ материальным точкам $\S \$ 45-47$, и мы опять их назовем $
u$ точками. Эти точки рассматриваются как внешние по отношению к рассматриваемой системе.

Если в точности $p_{b}^{\prime \prime}=p_{a}^{\prime}=0$, т. е. циклическое движение вполне стационарно, то и положение $v$ материальных точек остается неизменным и должно быть таким, чтобы в точности соблюдалось равенство
\[
P_{b}=\mathfrak{P}_{a}-\frac{\partial F}{\partial p_{a}}=-\frac{\partial T}{\partial p_{a}} .
\]

Это соответствует тому, что мы в $\$ 45-47$ назвали неварьированным движением. Если теперь, в теории циклов, опять положить
\[
T-F=H, \quad T+F=E,
\]

где буквы $H$ и $E$ имеют те же значения, что и в $\S \S 45-47$, но несколько отличные от того значения, которое им придается в других разделах этой книги, то уравнения (249) и (252) можно написать также в форме:
\[
\mathfrak{P}_{a}=-\frac{\partial H}{\partial p_{a}}, \quad P_{b}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}}\right) .
\]

Если медленно изменяющиеся параметры и значения $p_{b}$ будут медленно меняться, то $\mathfrak{P}_{a}$ должны немного отличаться от тех значений, которые им придаются этими уравнениями, а величины $P_{b}$ должны быть немного отличными от нуля. Эти последние силы тогда будут соответствовать тем силам, которые в $\S \$ 45-47$ мы назвали добавочными силами; это наименование мы сохраним за ними и теперь. Энергия, подведенная этими силами как циклически подведенная энергия, соответствует подведенному количеству тепла в теории теплоты.

Медленное изменение, которое циклическое движение претерпевает благодаря добавочным силам, а также вследствие того обстоятельства, что силы, исходящие от $v$ точек, не имеют в точности значений, определяемых уравнениями (252), соответствует тому, что в §§ 45-47 мы назвали вариацией движения. Впрочем, теперь нет необходимости рассматривать постепенное изменение стационарного циклического движения, вызванное медленным движением $v$ точек и действием добавочных сил, как проблему вариационного исчисления и особо отмечать символом $\delta$ соответствующие приращения. Теперь можно это постепенное изменение состояния рассматривать как обычное движение, происходящее с течением времени под действием добавочных сил и изменения положения $v$ точек. Это особенно напрашивается при подлинных циклах, у которых неварьированное движение не представляет собой видимого изменения состояния, так что ощутимые временные изменения появляются только при медленном варьировании движения.

Значения $T, V$ и т. д., соответствующие любому моменту времени неварьированного движения, для циклов совпадают со средними значениями $\bar{T}, \bar{V}$ и т. д. тех же величин для неварьированного движения. Совершенно безразлично, в какой момент времени неварьированного движения начинается варьирование, носящее характер механического движения под действием заданных сил; оно может продолжаться сколь угодно долго, привести постепенно к конечному изменению и окончиться в любое время. Если в какой-либо его фазе внезапно оказывается $p_{b}^{\prime \prime}=p_{a}^{\prime}=0$, тотчас получается соответствующее этой фазе неварьированное движение.

Здесь ясно обнаруживается, каким образом рассмотренная в начале этой книги вариация может постепенно приблизиться по своему характеру к обычному, происходящему во времени движению, при котором, однако, одни координаты изменяются много быстрее, а другие – много медленнее.

Мы сохраним все же для этих изменений циклических движений, наступающих постепенно с течением времени, по-прежнему название вариаций. Уравнения движения для изменений $p_{a}$, которые появляются от того, что (252) и (254), мы напишем только в § 53.