Приступая теперь к динамике, думаю, что вы не нуждаетесь в напоминании, что $3 n$ дифференциальных уравнений движения второго порядка между $3 n$ прямоугольными координатами $x_{1}, \dot{y}_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ и временем $t$ для системы $n$ притягивающихся или отталкивающихся масс $m_{1}, \ldots, m_{n}$, рассматриваемых как свободные точки, могут быть заключены в следующую формулу :
\[
\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+\ddot{z} \delta z)=\delta \Sigma m m_{1} f(r),
\]

где $\ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z}$ являются составляющими ускорения какой-нибудь массы $m$, а $f(r)$ – определенной функцией взаимного расстояния $r$ между двумя массами какой-либо пары $m m_{1}$, так что производная функция $f^{\prime}(r)$ выражает закон отталкивания, будучи отрицательной в случае притяжения. Вы также не нуждаетесь в сообщении о том, какими безуспешными оказались попытки математиков точно интегрировать систему $3 n$ уравнений второго порядка, так изящно выраженную вышеуказанной формулой Лагранжа. Для полной законченности подобного интегрирования было необходимо, как Вы знаете, найти $3 n$ соотношений между временем, $3 n$ переменными величинами и $6 n$ постоянными ; но аналитики, насколько мне известно, не нашли и даже не выразили пока ни одного подобного соотношения. Судите сами, выражает ли их все точно следующий метод с помощью одной основной функции и сводитли, таким образом, проблему динамики к поискам одного центрального соотношения … Таким образом, все свелось к поискам формы функции $S$; не такой функции, которая формулировала бы, а которая разрешала бы проблему, и не только служила бы, подобно лагранжевой пертурбационной функции $R$, для того, чтобы изящно выразить известные дифференциальные уравнения движения, но дала бы посредством своих собственных частных производных доселе неизвестные первые и конечные интегралы этих важных уравнений …

Таковы наиболее существенные черты моего нового метода в динамике. Он не представился мне сразу в такой простой форме. Я употребил, как вы найдете почти повсюду в моей первой статье, характеристическую функцию $V$, представляющуюся аналогичной с оптической функцией, о которой я упоминал в том же письме, и выражающую, как и в оптике, зависимость величины, называемой «действием», от конечных и начальных координат. Но эта функция в динамике заключает в себе также в виде вспомогательной величины константу $H$ в известном выражении для половины живой силы системы, а исключения, посредством которых я был принужден избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время, сделали метод более обширным, чем в настоящей его форме, особенно по отношению к вопросам возмущенного движения.

Для вопросов этого рода у меня имеются два совершенно различных процесса, один вытекает более непосредственно из свойств моей главной функции $S$, а второй, имея сходство с процессами, известными математикам, в сущности, выведен из того же нового аналитического метода или исчисления главной функции.

Согласно первому процессу, я варьировал не начальные координаты системы, а лишь начальные компоненты ее скоростей, чтобы вычислить окончательную или возмущенную конфигурацию при помощи правил невозмущенного движения; согласно второму процессу, я варьировал одновременно начальные положения и скорости, чтобы вычислить сразу же конечные или возмущенные координаты и скорости нескольких точек системы. Формула обоих процессов представляется мне такой простой, какой можно было ожидать, но при применении второго процесса к солнечной или другим аналогичным системам я принужден мысленно представить орбиту планеты совсем отличной от принятой в теории, хотя немного отличающейся в действительности от той, которую так прекрасно представил Лагранж. Моя орбита является менее простой с геометрической точки зрения, но зато взамен этого она имеет, возможно, некоторые важные преимущества для вычисления.

Вам хорошо известно, что общий метод варьирования параметров Лагранжа состоит в привлечении интегралов одного уравнения (или группы уравнений) к другому уравнению посредством трактовки постоянных первого уравнения как переменных второго. Рассматривая их таким образом, часто можно выбрать наугад несколько произвольных условий, которые удовлетворят этим новым переменным величинам, особенно в приложениях к динамике, в которых уравнения, интегрируемые первыми, обычно бывают второго порядка, а количество постоянных в их интегралах равно двойному числу зависимых переменных. Принцип, по которому Лагранж выбирал произвольные условия, чтобы удовлетворить своим переменным параметрам, был превосходен и заключался в понижении порядка, так как он вел к возрастанию числа дифференциальных уравнений движения. Я стремился и достиг того же преимущества иметь новые дифференциальные уравнения не выше первого порядка, но пришел к иному выбору параметров, ибо исходил из другой группы первоначальных дифференциальных уравнений, каждое из которых само первого порядка …

Вообще дифференциалы всех моих варьированных элементов для солнечной системы могут быть очень просто выражены частными производными одной пертурбационной функции $H_{2}$, взятыми относительно этих элементов, в то время как метод Лагранжа требует дифференцирования одной возмущенной функции для Юпитера, возмущенного Сатурном, и второй подобной функции для Сатурна, возмущенного Юпитером.

Это большое преимущество, как, вероятно, и будет признано, примиряет меня с неудобством вводить новую группу орбит и с потерей геометрической простоты, на которую я указывал; неудобство заключается в том, что мои орбиты не касаются, а пересекают (хотя под очень маленькими углами) действительные гелиоцентрические орбиты, описанные под действием всех возмущающих сил. Моя новая варьированная орбита любой планеты правильно дает возмущенные гелиоцентрические координаты и вспомогательные величины $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ при помощи правил невозмущенного движения, но если мы не продифференцируем элементов каждой планеты или не сопоставием орбиты всех планет, то они не дадут правильно тех вспомогательных переменных для возмущенного движения, которые употреблял Лагранж, именно – компонентов гелиоцентрических скоростей. Но алгебраически они были лишь подсказаны формой его первоначальных дифференциальных уравнений, а

астрономически они вовсе бесполезны, за исключением тех случаев, когда могут служить для вычисления гелиоцентрических координат; другие вспомогательные переменные, если от них можно было легко избавиться в конце вычисления, одинаково привлекали внимание как алгебраиста, так и астронома; вспомогательные переменные, которые я выбрал, кажутся мне достойными подобного внимания, потому что служат для упрощения как первоначальных дифференциальных уравнений, так и последующих преобразований, хотя они и предполагают новую группу переменных параметров или элементов. Будучи огорчен потерей прекрасного геометрического свойства қасания между действительными и варьированными орбитами, отнесенными к центру Солнца, я все же думаю, что свойство моих новых орбит, заключающееся в том, что они непосредственно дают компоненты скорости каждой планеты относительно центра тяжести всей солнечной системы, связывает их даже несколько сильнее, чем у Лагранжа, с идеей сложной системы, движущейся вокруг своего общего центра тяжести и в каждой части находящейся под влиянием действий всех остальных частей. Исходя из связи указанных орбит с этой идеей и из необходимости принимать в соображение массы и движения всей солнечной системы, прежде чем новые элементы қакой-либо планеты могут быть совершенно точно определены, я почувствовал соблазн дать этим новым эллипсам название систематических планетных орбит. Их вековые изменения следуют тем же законам, что и у обыкновенных орбит. И вообще, если бы этот новый способ приняли, то не было бы необходимости отбрасывать все прежние результаты, ибо обратная величина расстояния между двумя планетами является главным пунктом, который нужно развить как в функции Лагранжа, так и в моей возмущенной функции, хотя развитие у меня будет, конечно, более симметричным …