Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай.

В то время как я составлял пространную статью, относящуюся к этим исследованиям, я был отвлечен вопросами из области теории чисел, которая всегда была излюбленным предметом большого числа математиков; только после опубликования результатов, полученных в этой области, я вернусь к моей работе по динамике. В ожидании зтого я осмеливаюсь представить Академии заметку, о которой я говорил выше и которая только что была напечатана в журнале Крелля.

Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше известил Академию: полное интегрирование дифференциальных уравнений, составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных постоянных ; он основывается в принципе на важных свойствах

линейных дифференциальных уравнений, которым можно придать форму
\[
A y+\frac{d\left(B y^{\prime}\right)}{d x}+\frac{d^{2}\left(C y^{\prime \prime}\right)}{d x^{2}}+\ldots+\frac{d^{m}\left(P y^{(m)}\right)}{d x^{m}}=0,
\]

где $y^{(m)}$ заменяет $\frac{d^{m} y}{d x^{m}}$. Таким путем мы приходим к простому и общему предложению, которое весьма удобно для приложений. Например, если его применить к кратчайшим линиям на замкнутой поверхности, выходящим из одной точки, которые, вообще говоря, будут огибать кривую, образованную их последовательными пересечениями, мы приходим к теореме, гласящей, что «дуга такой линии, начинающаяся от общей исходной точки и оканчивающаяся раньше, чем она достигнет своей точки касания с общей огибающей, всегда является кратчайшим путем на поверхности между двумя ее концами, но если эту дугу продолжить за точку соприкасания или по крайней мере, до этой точки, то между этими двумя концами не будет ни самого большого, ни самого короткого пути».

Я полагаю, что принцип наименьшего действия следует рассматривать как один из наиболее важных принципов механики. В самом деле, мы видим, как молодой Лагранж в одной из статей в Miscellanea Taurinensia, представляющей собой бессмертную работу, стоящую выше всякой похвалы, в один прием выводит из этого принципа целиком всю аналитическую механику. Принцип возможных скоростей был введен лишь в последующих работах только для проведения методических доказательств. Почему же аналитическая механика, эта неблагодарная дочь, нашла нужным осудить принцип наименьшего действия как бесполезный? Если работы Гамильтона и исследования, о которых я говорил выше, добавляют нечто существенное к аналитической механике, то этим мы обязаны как раз этому принципу.

Мне кажется, что упомянутый принцип обычно преподносится недостаточно ясно и что даже невозможно уловить его истинный смысл, после того как дано лишь его определение, не прибегая к доказательству. Это происходит от того, что забывают добавить в самом определении принципа, что под знаком интеграла, который должен иметь минимум, элемент времени предполагается исключенным с помощью уравнения живых сил. Это последнее имеет вид
\[
\frac{1}{2} \Sigma m d s^{2}=(U+h) d t^{2},
\]

где $h$ – произвольная постоянная; поэтому не интеграл

а интеграл
\[
\begin{array}{c}
\int d t \sum m\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2} \\
\int \sqrt{U+h} \sqrt{\sum m d s^{2}}
\end{array}
\]

должен согласно принципу наименьшего действия иметь минимум. Гамильтон дал строгое доказательство этого, так же как и Эйлер в своем «Новом методе» (Nova methodus) и т. д. Но можно сделать довольно существенное возражение против определения этого принципа в том виде, как оно дано Лагранжем; это возражение относится к словам максимум и минимум. В самом деле, легко доказать, что максимума никогда не может быть, что для движения, ограниченного известными пределами, всегда имеет место минимум, а при выходе за эти пределы нет ни максимума, ни минимума. Применяя принцип к равномерному движению точки по поверхности, Лагранж говорит, что в этом случае имеет место минимум, потому что максимума не может быть; Лагранж, стало быть, думал, что есть случаи,

когда вместо минимума получается максимум. Мне кажется, что, заменяя на «максимум и минимум» в Miscellanea Taurinensia и в своих последующих работах слово «минимум» – единственное, которым всегда пользовались Эйлер и Лаплас, Лагранж хотел в краткой и остроумной форме подвергнуть критике мнение Эйлера, который считал, что возможно при помощи его принципа выразить божественное провидение. В самом деле, если допустить как одинаково возможные максимум и минимум, продолжая приписывать рассматриваемому интегралу его метафизическое истолкование, то это было бы равносильно утверждению, что природа заставляет действовать силы то с наибольшей, то с наименьшей мудростью. Позднее ни Лагранж, ни его последователи не попытались как-нибудь оправдать добавление максимума. В настоящее время представление какого-либо закона в форме теоремы 0 максимуме и минимуме все больше и больше теряет свой характер физический или метафизический, так как теперь доказывают, что большие классы аналитических задач, например те, которые связаны с интегрированием уравнений в частных производных первого порядка между любым числом переменных, могут быть представлены қак изопериметрические задачи.

В своей статье я доказываю обратное: все задачи об изопериметрах, в которых под знаком интеграла имеется некоторое число функций одного переменного с их производными любого порядка, могут быть приведены к интегрированию уравнения в частных производных первого порядка.

Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж. Эйлер в Берлинских мемуарах*) высказал даже мнение, что, рассматривая бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой своей части, если привести интеграл к его правильному виду
\[
\left.\int \sqrt{U+h} \sqrt{\sum m d s^{2}}{ }^{[131}\right] .
\]

Но одно обстоятельство, кажется, a priori доказывает, что параллелизм, на котором настаивает Эйлер, невозможен. Именно, на основании замечаний, сделанных выше, интеграл при бесконечно малых движениях всегда имеет настоящий минимум, тогда как в так называемом законе покоя может получиться максимум, минимум или ни тот, ни другой.

Заканчивая, беру на себя смелость привести в качестве извлечений из работы, о которой я говорил выше, следующие теоремы, которые я считаю важными.
I. Пусть
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z}, \ldots
\]
– $3 n$ дифференциальных уравнений движения свободной системы ; пусть
\[
\frac{1}{2} \sum m\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)=(U+h) d t^{2}
\]
– уравнение живых сил, где $h$ – произвольная постоянная. Пусть $V$ – полное решение уравнения в частных производных
\[
\frac{1}{2} \Sigma \frac{1}{m}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right]=U+h,
\]

решение, которое, помимо постоянной, добавляемой просто при помощи сложения, должно содержать $3 n-1$ произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ $\ldots, a_{3 n-1}$; я утверждаю прежде всего, что $3 n$ уравнений
\[
\frac{\partial V}{\partial a_{1}}=\beta_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial a_{2}}=\beta_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial V}{\partial a_{3 n-1}}=\beta_{3 n-1}, \quad \frac{\partial V}{\partial h}=t+\tau,
\]

в которых $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{3 n-1}$ суть $3 n-1$ новых произвольных постоянных, будут полными интегралами данных дифференциальных уравнений с $6 n$ произвольными постоянными $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{3 n-1}, \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3 n-1}, h, \tau$. Установив это, предположим, что движение испытывает возмущения и что дифференциальные уравнения возмущенного движения принимают вид:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial \Omega}{\partial x}, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial \Omega}{\partial y}, \ldots,
\]

если с помощью формул для первичного движения выразить функцию $\Omega$ через $t$ и через $6 n$ произвольных постоянных, то производные этих последних в возмущенном движении будут
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \alpha_{1}}{d t}=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta_{1}}, \quad \frac{d \alpha_{2}}{d t}=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta_{2}}, \ldots, \quad \frac{d \alpha_{3 n-1}}{d t}=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta_{3 n-1}}, \quad \frac{d h}{d t}=\frac{i \partial \Omega}{\partial \tau}, \\
\frac{d \beta_{1}}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha_{1}}, \quad \frac{d \beta_{2}}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha_{2}}, \ldots, \quad \frac{d \beta_{3 n-1}}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha_{3 n-1}}, \quad \frac{d \tau}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial h} .
\end{array}
\]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция $V$ удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}=k^{2}\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)
\]

приводит к известным формулам эллиптического движения и одновременно к шести элементам, способным удовлетворить поставленной цели, а именно: обратная величина большой оси, квадратный корень из полупериметра, произведение этого последнего на косинус наклонения, расстояние от восходящего узла, долгота перигелия и время прохождения через перигелий.

Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а именно : по некоторой данной системе элементов, которые связаны с временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают тем же свойством.
Решение этой задачи заключается в следующей теореме анализа.

II. Пусть дана система дифференциальных уравнений :
\[
\begin{aligned}
\frac{d a_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial b_{1}}, \quad \frac{d a_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial b_{2}}, \ldots, \frac{d a_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial b_{m}}, \\
\frac{d b_{1}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial a_{1}}, \quad \frac{d b_{2}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial a_{2}}, \ldots, \frac{d b_{m}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial a_{m}},
\end{aligned}
\]

где $H$ – какая-то функция $t$ и переменных $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$; пусть будут $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ – новые переменные, связанные с прежними переменными следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{llll}
\frac{\partial \Psi}{\partial a_{1}}=\beta_{1}, & \frac{\partial \Psi}{\partial a_{2}}=\beta_{2}, & \ldots, & \frac{\partial \Psi}{\partial a_{m}}=\beta_{m}, \\
\frac{\partial \Psi}{\partial a_{1}}=-b_{1}, & \frac{\partial \Psi}{\partial a_{2}}=-b_{2}, & \ldots, & \frac{\partial \Psi}{\partial a_{i n}}=-b_{m},
\end{array}
\]

где $\Psi$ – некоторая функция переменных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}$, не зависящая ни от времени, ни от каких-либо других переменных ; я утверждаю, что если выразить при помощи предыдущих уравнений функцию $H$ через $t$ и через новые переменные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, a_{m}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$, то между этими последними переменными будут иметь место дифференциальные уравнения в точности такой же формы, что и данные, а именно:
\[
\begin{array}{llll}
\frac{d \alpha_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \beta_{1}}, & \frac{d \alpha_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \beta_{2}}, \ldots, & -\frac{d \alpha_{m}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \beta_{m}}, \\
\frac{d \beta_{1}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial \alpha_{1}}, & \frac{d \beta_{2}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial \alpha_{2}}, \ldots, & \frac{d \beta_{m}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial \alpha_{m}} .
\end{array}
\]

Можно вывести из этой теоремы другие теоремы, менее общие, подставляя $\Psi+\lambda \Psi_{1}+\mu \Psi_{2}+\ldots$ вместо $\Psi$ и исключая множители $\lambda, \mu, \ldots$ при помощи уравнений
\[
\Psi_{1}=0, \quad \Psi_{2}=0, \ldots
\]

Доказательство этих теорем не представляет затруднений.