Для выяснения места вариационных принципов в физической картине мира и их эвристической ценности необходимо было развитие корпускулярно-полевого синтеза и глубокое проникновение в теоретическую физику идеи фундаментального значения инвариантов групп преобразования. Это развитие исторически осуществлялось в теории относительности, квантовой механике (нерелятивистской и релятивистской) и квантовой теории полей.

С релятивистской точки зрения плотность, умноженная на четырехмерный объем пространства-времени, есть действие в смысле Гамильтона.

Выражение $L$ имеет в теории относительности (в части, зависящей от $T$ ) вид
\[
-m_{0} c^{2} \int \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} d t
\]

причем величина, стоящая под знаком интеграла, является элементом собственного времени, который был признан Минковским простейшим инвариантом специальной теории относительности и введен Эйнштейном в качестве элемента мировой линии в общую теорию относительности. Принцип Гамильтона в этой форме автоматически удовлетворяет требованию инвариантности теории относительности (так же как и уравнения Лагранжа). Почти одновременно с открытием Эйнштейном общей теории относительности Д. Гильберт*) в 1915 г. попытался построить теорию, в основу которой положена аксиома, согласно которой законы физических процессов могут быть выведены из требований: 1) для скалярной мировой функции $H$ имеем
\[
\delta \iiint \int H \sqrt{g} d w_{i}=0, \quad i=1,2,3,4,
\]

для каждого из четырнадцати потенциалов Эйнштейна; 2) $H$ есть инвариант относительно произвольного преобразования $w_{i}$. В то время как у Эйнштейна принцип Гамильтона играл подчиненную роль, в работе Д. Гильберта он выдвинут на первый план. Д. Гильберт получил из этих аксиом эйнштейновы уравнения гравитационного и электромагнитного полей. Несколько позднее Эйнштейн**) посвятил специальную работу принципу Гамильтона, из которого он также вывел уравнения гравитационного поля при меньшем, чем у Гильберта, количестве допущений о свойствах вещества. Вывод Эйнштейна представляет интерес в том отношении, что он вполне аналогичен такому же выводу уравнений классической механики и, по существу, есть лишь реализация связи вариации некоторого интеграла с уравнением вариационной (изопериметрической) задачи. В ходе рассуждений Эйнштейн, конечно, полагает, что
\[
d s^{2}=g_{\mu
u} d x_{\mu} d x_{
u}
\]

есть инвариант. Тақим образом, при выводе законов явлений из принципа Гамильтона требуются либо оправданные физическим материалом гипотезы о поле и веществе, либо знание экспериментальных параметров и зависимостей. Выводя из этого принципа релятивистские уравнения, мы выигрываем скорее в математическом изяществе, чем в физическом понимании. Это сведе́ние математической схемы тех или иных физических процессов к принципу Гамильтона важно, однако, в методологическом отношении, так как позволяет утверждать, что для них имеет место единый тип каузальных связей.

В 1900 г. «действие» появилось в физике как особая, новая и в высшей степени важная величина в виде так называемого кванта действия, введенного в теорию излучения абсолютно черного тела М. Планком. Обратив внимание на размерность (действие $=$ энергия $\times$ время), А. Зоммерфельд***) в 1911 г. сделал допущение, что временно́е протекание обмена энергии у молекул (проявляющееся в излучении), упорядочено некоторым общим образом: при каждом молекулярном процессе отдается или получается определенная универсальная величина действия, а именно,
\[
\int_{0}^{r} L d t=\frac{h}{2 \pi},
\]

где $\tau$ – продолжительность процесса. Это положение может быть в известной мере обосновано соображениями теории относительности. Таким образом, Зоммерфельдом была сделана первая робкая попытка связать классический принцип Гамильтона с квантованным характером микропроцессов. В 1912 г. А. Пуанкаре рассмотрел связь динамики в форме Гамильтона-Якоби с квантованностью действия и энергии, опираясь на теорию последнего множителя Якоби и статистическую механику Больцмана-Планка. Он показал, что гипотеза квантов – единственная, которая приводит к правильному закону распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, но что между квантовым законом Планка и классической механикой существует прямая антиномия. Тот факт, что единица есть последний множитель канонических уравнений классической механики, обозначает, что последняя с необходимостью внутренне связана с равномерным распределением энергии по степеням свободы. Последний множитель для квантовой системы, в отличие от системы классической, должен иметь существенно прерывный характер.

Развитие теории атома Н. Бора естественно привело от рассмотрения простейшего случая кругового движения электрона в атоме к изучению более сложных его движений. Такое расширение теории Бора было сделано А. Зоммерфельдом*), Уильсоном**) и др. В 1915 г. Зоммерфельд обратил внимание на то, что идея Планка***) о возможности только таких последовательных состояний, площадь между кривыми которых в фазовом пространстве будет равна $h$, и, следовательно, об ограниченной делимости этого пространства (оно построено из элементов с площадью $h$ ), находится в связи с представлением круговых орбит Н. Бора. А. Зоммерфельд нашел, что
\[
f p d q=n \hbar,
\]

где слева стоит интеграл действия, известный под названием фазового интеграла. С помощью этого интеграла Зоммерфельд рассмотрел задачу атома водорода, ввел радйльное и азимутальные квантовые числа и показал; что энергия зависит от суммы квантовых чисел, а не от каждого из них в отдельности. Этим же методом он воспользовался при решении задачи водородоподобного атома и объяснил тонкую структуру спектральных линий.

Исторический приоритет в квантовании фазового интеграла принадлежит Уильсону, который выдвинул ту же гипотезу на несколько месяцев раньше, допустив, что взятый по периоду $\frac{1}{\omega_{k}}$ интеграл $2 f T_{k} d t=n_{k} h$.

Теории Зоммерфельда и Уильсона страдали тем существенным недостатком, что не удавалось указать каких-либо правил для выбора координат, к которым должны быть приложены квантовые условия. Это очевидно только для специального случая кеплерова эллипса.

Первый шаг к решению этой проблемы был сделан Эпштейном****) в 1916 г. в работе об эффекте Штарка. Эпштейн заимствовал из астрономии метод, много раз прилагавшийся для решения уравнения ГамильтонаЯкоби и известный под названием «разделения переменных». Этот метод ведет прямо к определению энергетического уровня без промежуточных вычислений орбит. Другой подход к проблеме был независимо от Эпштейна в том же году разработан Шварцшильдом*****) на основании теории условно-

периодического движения Штауда-Штеккеля. Введя для этих движений некоторые переменные действия $J_{r}$ и угловые переменные $\varphi_{r}$, Шварцшильд получил в этих координатах канонические уравнения и условие квантования
\[
\int J_{r} d \varphi_{r}=n h .
\]

Эпштейн показал полную эквивалентность обоих методов. Во всех этих методах использован математический прием, состоящий в применении преобразования Лежандра. В старой «классической» квантовой механике стремились ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона зависимой только от канонически сопряженных импульсов, так как в этом случае механическая задача легко разрешима.
П. Эренфест*) в 1916 г. теоретически обосновал квантовые условия Зоммерфельда и др. с помощью адиабатической гипотезы. Он использовал представление об адиабатических инвариантах систем, а Баджерс позднее показал, что фазовые интегралы действия есть адиабатические инварианты, которые по идее Эренфеста являются квантующимися переменными.

В классической теории всегда рассматривается интеграл $\int z^{\prime} p_{i} d q_{i}$, а в квантовой теории $\int p_{i} d q_{i}$, так как в квантовой теории функция действия расщепляется на частичные $S_{i}\left(q_{i}\right)$, в то время как в теории ГамильтонаЯкоби разделение переменных есть лишь способ решения уравнения.

Основной дефект теории Бора-Зоммерфельда состоял в том, что она определяла все множество классических орбит и на последней стадии вычислений отбрасывала большинство из них. Но и в решении конкретных задач методы классической квантовой теории привели к расхождению с опытом, как это показал Крамерс**) в 1923 г. в работе, посвященной теории атома гелия. Он же показал, что модель Бора динамически неустойчива. Неудача с моделью гелия лишила теорию Бора мощного орудия исследования методов классической механики, и вся теория обратилась в почти интуитивное угадывание истинных отношений.

Параллельно и в связи с развитием. квантовой теории Бора идет развитие проблемы корпускулярно-волнового синтеза природы света и вещества. Для того чтобы увязать корпускулярную и волновую картину света и вещества, классическая физика имела уже разработанный мощный аппарат оптико-механической аналогии. Л. де-Бройль***) в 1924 г. руководствовался мыслью о глубоком тождестве принципа наименьшего действия с принципом Ферма. По мысли де-Бройля основной является задача вывести из волновой теории такое выражение для групповой скорости, которое представляло бы скорость луча корпускулярной теории. Де-Бройль воспользовался теорией относительности для того, чтобы показать эквивалентность принципов Ферма и наименьшего действия. Он ввел четырехмерный волновой вектор и, установив связь между ним и тақим же вектором принципа наименьшего действия, нашел для четвертых компонент соотношение $O_{4}=\frac{1}{h} J_{4}$. Л. деБройль сделал смелую гипотезу о том, что такое же соотношение имеет место и для других компонент:
\[
\boldsymbol{O}=\frac{1}{h} \boldsymbol{J} .
\]

Из этой гипотезы следует фундаментальный вывод: динамические возможные траектории точки тождественны с возможными лучами волны.

Для квантового условия Бора-Зоммерфельда получается просто, что замкнутая траектория электрона должна содержать целое число длин волн.

Принцип наименьшего действия и принцип Ферма представляют собой два аспекта одного и того же закона. Каждая корпускула сопоставляется с неразрывно связанным с ней волновым процессом. Оптико-механическая аналогия приобрела новый смысл, особенно когда эксперимент подтвердил гипотезу де-Бройля.

Следующий шаг в развитии оптико-механической аналогии сделал Э. Шредингер*) в 1926 г. Он усмотрел в принципе Гамильтона результат игры волн, который лежит в основе движения материальных точек. Он использовал оптико-механическую аналогию для того, чтобы «спасти сущность механики, чье дыхание ясно чувствовалось в микрокосмосе»**).

Опираясь на механику Гамильтона-Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение $d s^{2}=2 T\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right) d t^{2}$ и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей действия и уравнением Гамильтона-Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением $\lambda=\frac{h}{p}$, Шредингер получает свое основное волновое уравнение, так как в то время как оптико-механическая аналогия Гамильтона целиком лежит в пределах макроскопической физики, Шредингер осуществляет переход от макро- к микрофизике. Если в аналогии Гамильтона нет места для таких понятий, как длина волны и амплитуда, то здесь они вводятся в теорию. Переход от макромеханики к микромеханике совершается через оптику лучей и волновую оптику. Для этого необходимо разорвать цепь математической дедукции, написав для синусоидальной волны
\[
\sin \left[\frac{2 \pi S}{h}+\text { const }\right] .
\]

Введение $1 / \hbar$ в обобщенную оптико-механическую аналогию позволяет получить уравнение
\[
\Delta \psi+\frac{8 \pi^{2} m}{h^{2}}(E-V) \psi=0,
\]

которое заключает в себе квантовые условия, и написать:
\[
H\left(q_{i}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{i}}\right) \psi=H \psi,
\]
т.е. обычную форму уравнения Шредингера для амплитуды. Предельный переход от волновой механики атома к классической механике формально аналогичен гамильтонову переходу, как это показали А. Вентцель и Л. Бриллюен. Применение оптико-механической аналогии Шредингеромпример аналогии по форме математических законов физических процессов.

Состояние физики в XIX в. не давало еще никаких указаний на то, что классическая механика является лишь приближением волновой механики, представляя собою своего рода «геометрическую оптику». Потребовалось пройти огромный путь, чтобы это стало ясно., Только опыты Дэвисона и Джермера изменили научную обстановку.

Переходя к вопросу о роли вариационных принципов в построении квантовой теории полей, необходимо прежде всего указать, что эта теория на сегодняшний день не является завершенной, т. е. дающей внутренне непротиворечивое описание определенного круга физических явлений.

Обычный путь построения релятивистской квантовой локальной теории поля таков:
a) В гейзенберговском представлении прежде всего из операторов поля строится лагранжиан, удовлетворяющий различным условиям инвариантности, условию локальности, условию невведения высших производных и, в большинстве случаев, условию невведения нелинейных членов. Указанными условиями и заданием геометрических свойств полей лагранжиан определяется однозначно с точностью до масштабных ксэффициентов (квазизарядов). Уравнения для операторов поля получаются обычным образом, как уравнения Эйлера-Лагранжа вариационной задачи. Из лагранжиана непосредственно выводятся операторы всех физических величин: энергииимпульса, 4-вектора тока и т. д. В случае связанных полей лагранжиан может быть представлен в виде суммы. Так, например, в случае связанных электромагнитного и электронно-позитронного полей
\[
L=L_{0}(A)+L_{0}(\psi)+L_{i \mathrm{nt}},
\]

где два первых члена справа – лагранжианы свободных полей, а последний-лагранжиан взаимодействия электромагнитного и спинорного полей.
б) Шредингеровское представление является наиболее полным аналогом классической гамильтоновой схемы. Это представление исторически оказалось особенно плодотворным в нерелятивистской квантовой механике. К шредингеровскому представлению можно просто перейти от гейзенберговского представления; это показывает эквивалентность лагранжевогейзенберговского и гамильтоново-шредингеровского формализмов. Наиболее существенным отличием шредингеровского представления является отчетливое разделение динамического и кинематического аспектов задачи. Этим, в частности, объясняется успех шредингеровского представления в нерелятивистской теории и его затруднение в релятивистском случае, где подобное разделение является затруднительным. Переход от гейзенберговского представления к шредингеровскому осуществляется каноническим, преобразованием с помощью гамильтониана $H$ (трактуемого как оператор сдвига по времени) как производящей функции.
в) Представление взаимодействия получается (в электродинамике и мезодинамике без производных) из гейзенберговского также каноническим преобразованием с тем отличием, что за функцию преобразования берется не весь гамильтониан, а только член $H_{\mathrm{in}}$, описывающий взаимодействие полей.

Все рассмотренные формулировки квантовой теории полей, каждая из которых имеет классический аналог, не дают внутренне непротиворечивого решения проблем теории (расходимости!). Все они основаны на явной предпосылке применимости принципа Гамильтона к данной области физических явлений, а этот принцип и связанные с ним гамильтонов и лагранжев формализм до настоящего времени являются наиболее универсальным выражением принципа причинности в физике.