Теперь $\delta E, \delta T$ и $\delta V$. имеют тот же самый смысл, что и в формуле (223) § 36 .
Функция $V$, конечно, содержит, кроме координат $n$ точек, также и координаты $v$ точек, и выражения, содержащие последние, играют в выражении силовой функции роль медленно изменяющихся параметров, поскольку $v$ точек движутся медленно; однако это не имеет места, пока движение остается неварьированным. Поэтому во время неварьированного движения функция $V$ координат $n$ материальных точек не содержит явно входящего времени: это одно только и предполагается в § 36. Действия, производимые
бесконечно малым движением $
u$ точек, приписываются там добавочным силам. Поэтому теперь опять имеет силу уравнение (223), а именно:
\[
2 \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta E d t+\sum_{h=1}^{s}\left(q_{h}^{1} \delta p_{h}^{1}-q_{h}^{0} \delta p_{h}^{0}\right) .
\]
До сих пор мы рассматривали неварьированное движение в течение промежутка времени $t_{1}-t_{0}$ и наряду с ним, совершенно независимо от него, варьированное движение в течение промежутка времени $t_{1}+\delta t_{1}-t_{0}$.
Теперь мы займемся рассмотрением перехода от одного движения к другому. Тут прежде всего совершенно безразлично, в какой или в какие моменты времени на протяжении всего времени $t_{1}-t_{0}$ добавочные силы подвели энергию к $n$ точкам. Наоборот, совсем не безразлично, произошло ли все смещение $v$ точек в один-единственный момент, лежащий между $t_{0}$ и $t_{1}$, или же это смещение составилось из нескольких смещений на протяжении времени $t_{1}-t_{0}$, а также, когда именно произошло каждое из этих частных смещений.
Приращение полной энергии $n$ точек есть
\[
\delta E-\delta \Omega=\delta(T+F)=\delta J_{n},
\]
а приращение всей живой силы и силовой функции $n+v$ точек
\[
\delta J_{n, v}=\delta T+\delta F+\delta_{\text {полн }} \Omega=\delta T+\delta_{\text {полн }} V .
\]
Значения, которые принимают эти приращения к концу движения, т.е. в момент $t_{1}+\delta t_{1}$, естественно, не зависят от того, в какой именно момент имело место полное перемещение $
u$ точек, если только это перемещение одинаково для всех точек. Напротив, общая внешняя работа, будем ли мы ее определять как $\delta \Omega$ или как – $\delta_{y} \Omega$, зависит от того, когда имело место перемещение $
u$ точек; то же самое относится и к энергии $\delta T+\delta V$, которую добавочные силы в общем должны подвести за время $t_{1}$ – $t_{0}$ к $n$ точкам.
В самом деле, эта энергия равна
\[
\delta T+\delta_{\text {полн }_{i}^{\prime}} V-\delta_{
u} \Omega=\delta T+\delta F+\delta \Omega .
\]
Пусть теперь в течение всего времени $t_{1}-t_{0}$ движения $v$ точек передвигаются равномерно из положения, которое они занимают для неварьированного движения, в положение, соответствующее варьированному движению, таким образом, что первое положение они имеют в момент $t_{0}$, а последнего достигают как раз в момент $t_{1}$. В то время как движение $n$ точек может происходить с большей или меньшей скоростью, $
u$ точек должны двигаться бесконечно медленно, но совершенно равномерно, так что за конечный промежуток времени $t_{1}-t_{0}$ они проходят только очень малые пути, почему мы и назвали величины, выражающие их влияние на движение, медленно изменяющимися параметрами.
Если обозначить через $\delta_{
u} \Omega$ работу, которую должны были бы совершить $v$ точек против сил, имеющих силовую функцию $\Omega$, если бы все перемещение $v$ точек произошло в момент времени $t$, то при рассматриваемом теперь постепенном перемещении $v$ точек в течение времени $d t$ совершается работа $\frac{\delta_{y} \Omega d t}{t_{1}-t_{8}}$, причем приращение $\delta_{v} \Omega$ различно для различных фаз движения и поэтому является функцией от $t$. Таким образом, вся работа, совершенная в течение времени $t_{1}-t_{0} v$ точками против сил, обладающих силовой функ-
цией $\Omega$, в случае постепенного перемещения $v$ точек равна
\[
\delta_{y} \Omega=\frac{1}{t_{1}-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta_{
u} \Omega \delta t .
\]
Допустим, что при этом действуют также подобранные подходящим образом добавочные силы, которые вместе с перемецением $v$ точек преобразуют неварьированное движение в варьированное, так что в момент $t_{0}$ материальные точки движутся еще так, как это соответствует неварьированному движению в этот момент времени, тогда как в момент времени $t_{1}+\delta t_{1}$ они движутся в точности так, как им положено двигаться в варьированном движении в этот момент времени (момент времени $t_{1}+\delta t_{1}$ в варьированном движении соответствует конечному моменту $t_{1}$ неварьированного движения). Тогда добавочные силы должны к $n$ материальным точкам подвести энергию
\[
\delta Q=\delta T+\delta_{\text {полн }} V-\frac{1}{t_{1}-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \delta_{v} \Omega d t=\frac{1}{t_{1}-t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}}(\delta T+\delta V) d t .
\]
Когда именно в течение промежутка времени $t_{1}-t_{0}$ и каким образом подействуют добавочные силы, здесь совершенно безразлично, лишь бы в конечном итоге получалось в точности варьированное движение. Ибо, если полный прирост энергии $n$ точек и полное перемещение $v$ точек, а таким образом и отданная наружу энергия те же самые, то этим определяется и энергия, подведенная добавочными силами *).
Но $\delta T+\delta V$ ссть та жс самая всличина, которая в формуле ‘(223) § 36 была обозначена через $\delta E$ и, поэтому из уравнения (246) получается:
\[
\left(t_{1}-t_{0}\right) \delta Q=2 \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t-\sum_{h=1}^{s}\left(q_{h}^{1} \delta p_{h}^{1}-q_{h}^{0} \delta p_{h}^{0}\right) .
\]
