Теперь $\delta E,\delta T$ и $\delta V$. имеют тот же самый смысл, что и в формуле (223) § 36 .

Функция $V$, конечно, содержит, кроме координат $n$ точек, также и координаты $v$ точек, и выражения, содержащие последние, играют в выражении силовой функции роль медленно изменяющихся параметров, поскольку $v$ точек движутся медленно; однако это не имеет места, пока движение остается неварьированным. Поэтому во время неварьированного движения функция $V$ координат $n$ материальных точек не содержит явно входящего времени: это одно только и предполагается в § 36. Действия, производимые

бесконечно малым движением $u$ точек, приписываются там добавочным силам. Поэтому теперь опять имеет силу уравнение (223), а именно:
$$2\delta {\int }_{t_0}^{t_1}Tdt={\int }_{t_0}^{t_1}\delta Edt+\sum _{h=1}^s(q_h^1\delta p_h^1-q_h^0\delta p_h^0).$$

До сих пор мы рассматривали неварьированное движение в течение промежутка времени $t_1-t_0$ и наряду с ним, совершенно независимо от него, варьированное движение в течение промежутка времени $t_1+\delta t_1-t_0$.

Теперь мы займемся рассмотрением перехода от одного движения к другому. Тут прежде всего совершенно безразлично, в какой или в какие моменты времени на протяжении всего времени $t_1-t_0$ добавочные силы подвели энергию к $n$ точкам. Наоборот, совсем не безразлично, произошло ли все смещение $v$ точек в один-единственный момент, лежащий между $t_0$ и $t_1$, или же это смещение составилось из нескольких смещений на протяжении времени $t_1-t_0$, а также, когда именно произошло каждое из этих частных смещений.
Приращение полной энергии $n$ точек есть
$$\delta E-\delta \mathrm{\Omega }=\delta (T+F)=\delta J_n,$$

а приращение всей живой силы и силовой функции $n+v$ точек
$$\delta J_{n,v}=\delta T+\delta F+{\delta }_{\text{полн }}\mathrm{\Omega }=\delta T+{\delta }_{\text{полн }}V.$$

Значения, которые принимают эти приращения к концу движения, т.е. в момент $t_1+\delta t_1$, естественно, не зависят от того, в какой именно момент имело место полное перемещение $u$ точек, если только это перемещение одинаково для всех точек. Напротив, общая внешняя работа, будем ли мы ее определять как $\delta \mathrm{\Omega }$ или как — ${\delta }_y\mathrm{\Omega }$, зависит от того, когда имело место перемещение $u$ точек; то же самое относится и к энергии $\delta T+\delta V$, которую добавочные силы в общем должны подвести за время $t_1$ — $t_0$ к $n$ точкам.
В самом деле, эта энергия равна
$$\delta T+{\delta }_{{\text{полн }}_i^{\prime }}V-{\delta }_u\mathrm{\Omega }=\delta T+\delta F+\delta \mathrm{\Omega }.$$

Пусть теперь в течение всего времени $t_1-t_0$ движения $v$ точек передвигаются равномерно из положения, которое они занимают для неварьированного движения, в положение, соответствующее варьированному движению, таким образом, что первое положение они имеют в момент $t_0$, а последнего достигают как раз в момент $t_1$. В то время как движение $n$ точек может происходить с большей или меньшей скоростью, $u$ точек должны двигаться бесконечно медленно, но совершенно равномерно, так что за конечный промежуток времени $t_1-t_0$ они проходят только очень малые пути, почему мы и назвали величины, выражающие их влияние на движение, медленно изменяющимися параметрами.

Если обозначить через ${\delta }_u\mathrm{\Omega }$ работу, которую должны были бы совершить $v$ точек против сил, имеющих силовую функцию $\mathrm{\Omega }$, если бы все перемещение $v$ точек произошло в момент времени $t$, то при рассматриваемом теперь постепенном перемещении $v$ точек в течение времени $dt$ совершается работа $\frac{{\delta }_y\mathrm{\Omega }dt}{t_1-t_8}$, причем приращение ${\delta }_v\mathrm{\Omega }$ различно для различных фаз движения и поэтому является функцией от $t$. Таким образом, вся работа, совершенная в течение времени $t_1-t_{0}v$ точками против сил, обладающих силовой функ-

цией $\mathrm{\Omega }$, в случае постепенного перемещения $v$ точек равна
$${\delta }_y\mathrm{\Omega }=\frac{1}{t_1-t_0}{\int }_{t_0}^{t_1}{\delta }_u\mathrm{\Omega }\delta t.$$

Допустим, что при этом действуют также подобранные подходящим образом добавочные силы, которые вместе с перемецением $v$ точек преобразуют неварьированное движение в варьированное, так что в момент $t_0$ материальные точки движутся еще так, как это соответствует неварьированному движению в этот момент времени, тогда как в момент времени $t_1+\delta t_1$ они движутся в точности так, как им положено двигаться в варьированном движении в этот момент времени (момент времени $t_1+\delta t_1$ в варьированном движении соответствует конечному моменту $t_1$ неварьированного движения). Тогда добавочные силы должны к $n$ материальным точкам подвести энергию
$$\delta Q=\delta T+{\delta }_{\text{полн }}V-\frac{1}{t_1-t_0}{\int }_{t_0}^{t_1}{\delta }_v\mathrm{\Omega }dt=\frac{1}{t_1-t_0}{\int }_{t_0}^{t_1}(\delta T+\delta V)dt.$$

Когда именно в течение промежутка времени $t_1-t_0$ и каким образом подействуют добавочные силы, здесь совершенно безразлично, лишь бы в конечном итоге получалось в точности варьированное движение. Ибо, если полный прирост энергии $n$ точек и полное перемещение $v$ точек, а таким образом и отданная наружу энергия те же самые, то этим определяется и энергия, подведенная добавочными силами *).

Но $\delta T+\delta V$ ссть та жс самая всличина, которая в формуле ‘(223) § 36 была обозначена через $\delta E$ и, поэтому из уравнения (246) получается:
$$(t_1-t_0)\delta Q=2\delta {\int }_{t_0}^{t_1}Tdt-\sum _{h=1}^s(q_h^1\delta p_h^1-q_h^0\delta p_h^0).$$