Составим теперь дифференциальные уравнения движения для материальной точки. Мы применим принцип наименьшего действия в более узкой форме. Если обозначить через $s$ длину дуги траектории, то для действительного движения скорость
\[
\frac{d s}{d t}=c
\]

постоянна на основании теоремы о сохранении энергии. Варьированное движение надо мыслить происходящим с той же скоростью. Принцип в этом случае дает
\[
\frac{2}{m c} \delta \int T d t=\delta \int c d t=\delta \int d s=0 .
\]

Путем преобразования находим:
\[
\begin{aligned}
\delta \int d s & =\int \delta d s=\int \frac{d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z}{d s}= \\
& =\int\left(\frac{d x}{d s} d \delta x+\frac{d y}{d s} d \delta y+\frac{d z}{d s} d \delta z\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Последний интеграл разбиваем на три слагаемых и интегрируем по частям; затем вследствие исчезновения начальной и конечной вариаций получаем
\[
\int\left(-\frac{d^{2} x}{d s^{2}} \delta x-\frac{d^{2} y}{d s^{2}} \delta y-\frac{d^{2} z}{d s^{2}} \delta z\right) d s=0 .
\]

Вариации определяются тем, что $\delta x, \delta y, \delta z$ представляют виртуальное перемещение, т.е. они определяются уравнением
\[
\varphi \delta x+\psi \delta y+\chi \delta z=0 .
\]

Левую часть этого уравнения нужно умножить на $\lambda d s$ и затем прибавить под знаком последнего интеграла. Таким путем мы сперва получаем
\[
\int\left\{\left(\lambda \varphi-\frac{d^{2} x}{d s^{2}}\right) \delta x+\left(\lambda \psi-\frac{d^{2} y}{d s^{2}}\right) \delta y+\left(\lambda \chi-\frac{d^{2} z}{d s^{2}}\right) \delta z\right\} d s=0,
\]

а отсюда
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}=\lambda \varphi, \quad \frac{d^{2} y}{d s^{2}}=\lambda \psi, \quad \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=\lambda \chi .
\]

Так как $\lambda$ здесь означает неизвестную переменную, то смысл уравнений (22) сводится к пропорции
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}: \frac{d^{2} y}{d s^{2}}: \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=\varphi: \psi: \chi .
\]

Но, как известно, вторые производные $\frac{d^{2} \dot{x}}{d s^{2}}, \frac{d^{2} y}{d s^{2}}, \frac{d^{2} z}{d s^{2}}$ относятся между собой как направляющие косинусы лежащей в соприкасающейся плоскости нормали траектории. Эта нормаль, таким образом, тождественна с нормалью к элементу поверхности, соответствующему точке $x, y, z$ по уравнению (13). Таким образом, в каждой точке траектории соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к элементу поверхности, соответствующему этой точке*).

Уравнения (20) и (22) соответствуют обеим формулировкам основного закона Герца **), тогда как дифференциальные уравнения (22) совместно с уравнением (13) определяют введенные там Герцем «прямейшие траектории»***).

Мы только что определили действительную траекторию при помощи уравнения
\[
\delta \int d s=0 .
\]

Составим теперь то же самое уравнение, но при другой точке зрения на варьирование. Мы теперь не будем больше требовать, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, но мы потребуем, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тому же самому дифференциальному уравнению (13), которому мы подчиняем траекторию, подлежащую варьированию. Теперь перед нами стоит совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря, не вытекают действительные траектории материальной точки. В этой задаче вариации следует подчинить условию (17), т. е. уравнению
\[
\delta \varphi d x+\delta \psi d y+\delta \chi d z+\varphi d \delta x+\psi d \delta y+\chi d \delta z=0 .
\]

Раскрывая уравнение (24), как раньше, мы опять получаем уравнение (21). В последнем уравнении следует под знаком интеграла прибавить левую часть уравнения (25), умноженную на $\lambda * * * *)$. Тогда мы, после того как проинтегрируем по частям некоторые из членов, стоящих под знаком интеграла, получаем обычным способом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}-\lambda\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \chi}{\partial x} \frac{d z}{d s}\right)+\frac{d}{d s}(\lambda \varphi)=0,1 \\
\frac{d^{2} y}{d s^{2}}-\lambda\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \chi}{\partial y} \frac{d z}{d s}\right)+\frac{d}{d s}(\lambda \psi)=0, \\
\frac{d^{2} z}{d s^{2}}-\lambda\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{d x}{d s}+\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial \chi}{\partial z} \frac{d z}{d s}\right)+\frac{d}{d s}(\lambda \chi)=0
\end{array}
\]

Этим уравнениям можно также придать такую форму:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}+\varphi \frac{d \lambda}{d s}-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right) \lambda \frac{d y}{d s}-\left(\frac{\partial \chi}{\partial x}-\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) \lambda \frac{d z}{d s}=0, \\
\frac{d^{2} y}{d s^{2}}+\psi \frac{d \lambda}{d s}-\left(\frac{\partial \chi}{\partial y}-\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) \lambda \frac{d z}{d s}-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \lambda \frac{d x}{d s}=0, \\
\frac{d^{2} z}{d s^{2}}+\chi \frac{d \lambda}{d s}-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial \chi}{\partial x}\right) \lambda \frac{d x}{d s}-\left(\frac{\partial \psi}{\partial z}-\frac{\partial x}{\partial y}\right) \lambda \frac{d y}{d s}=0 ;
\end{array}\right\}
\]

они определяют вместе с уравнением (13) так называемые «геодезические траектории»*).

Герц показал, что для его голономных систем геодезические траектории совпадают с наиболее прямыми, т.е. с действительными траекториями**). В самом деле, если условие интегрируемости выполнено, то можно считать, что уравнение (13) задано так, что $\varphi d x+\psi d y+\chi d z$ есть полный дифференциал. Тогда имеют место соотношения
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial \psi}{\partial x}, \quad \frac{\mid \partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial \psi}{\partial x}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{\partial \chi}{\partial y}
\]

и уравнения (26) в связи с этим выражают не что иное, как существование пропорции (23).