13. Для иллюстрации изложенных выше принципов, которые распространяются на любую свободную систему точек притягивающих или отталкивающих друг друга, каково бы ни было их число, рассмотрим, в частности, систему двух таких точек. Для такой системы известная силовая функция $U$ посредством (2) принимает вид
\[
U=m_{1} m_{2} f(r),
\]

где
\[
r=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}
\]

представляет собой расстояние между двумя точками $m_{1}, m_{2}$, а $f(r)$ – функцию этого расстояния, так что ее производная или дифференциальный козффициент $f^{\prime}(r)$ выражает закон отталкивания или притяжения точек, в завис имости от того, является ли она положительной или отрицательной. Теперь известные дифференциальные уравнения движения второго порядка выражаются на основании равенства (1) следующей формулой :
\[
m_{1}\left(x_{1}^{\prime \prime} \delta x_{1}+y_{1}^{\prime \prime} \delta y_{1}+z_{1}^{\prime \prime} \delta z_{1}\right)+m_{2}\left(x_{2}^{\prime \prime} \delta x_{2}+y_{2}^{\prime \prime} \delta y_{2}+z_{2}^{\prime \prime} \delta z_{2}\right)=m_{1} m_{2} \delta f(r),
\]

следовательно, отдельно они будут :
\[
\left.\begin{array}{lll}
x_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f(r)}{\delta x_{1}}, & y_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f(r)}{\delta y_{1}}, & z_{1}^{\prime \prime}=m_{2} \frac{\delta f(r)}{\delta z_{1}}, \\
x_{2}^{\prime \prime}=m_{1} \frac{\delta f(r)}{\delta x_{2}}, & y_{2}^{\prime \prime}=m_{1} \frac{\delta f(r)}{\delta y_{2}}, & z_{2}^{\prime \prime}=m_{1} \frac{\delta f(r)}{\delta z_{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Задача интегрирования этих уравнений состоит в том, чтобы попытаться найти с их помощью шесть отношений между временем $t$, массами $m_{1}, m_{2}$, шестью переменными координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}$ и их начальными, значениями и начальными скоростями $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}, a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}$, $b_{2}^{\prime}, c_{2}^{\prime}$. Если бы мы знали эти шесть конечных интегралов и сочетали их с начальной формой закона живой силы или известного промежуточного интеграла
\[
\frac{1}{2} m_{1}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} m_{2}\left(x_{2}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2}+z_{2}^{\prime 2}\right)=m_{1} m_{2} f(r)+H,
\]
т. е. с выражением
\[
\frac{1}{2} m_{1}\left(a_{1}^{\prime 2}+b_{1}^{\prime 2}+c_{1}^{\prime 2}\right)+\frac{1}{2} m_{2}\left(a_{2}^{\prime 2}+b_{2}^{\prime 2}+c_{2}^{\prime 2}\right)=m_{1} m_{2} f\left(r_{0}\right)+H,
\]

в котором $r_{0}$ представляет собой начальное расстояние
\[
r_{0}=\sqrt{\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}},
\]

а $H$ – постоянную величину, введенную при интегрировании, то мы могли бы путем комбинирования этих семи отношений определить время $t$ и шесть начальных компонентов скорости $a_{1}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, c_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, c_{2}^{\prime}$ как функции двенадцати конечных и начальных координат $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ и величины $H$ (включающей также массы). Следовательно, мы могли бы определить все, что зависит от способа и времени движения этой системы двух точек, как функцию тех же самых граничных координат и той же величины $H$. В частности, мы могли бы определить действие или накопленную живую силу системы, т. е.
\[
V=m_{1} \int_{0}^{t}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}\right) d t+m_{2} \int_{0}^{t}\left(x_{2}^{\prime 2}+y_{2}^{\prime 2}+z_{2}^{\prime 2}\right) d t,
\]

как функцию этих тринадцати величин $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$, $H$ и вычислить вариацию этой функции
\[
\begin{array}{l}
\delta V=\frac{\delta V}{\delta x_{1}} \delta x_{1}+\frac{\delta V}{\delta y_{1}} \delta y_{1}+\frac{\delta V}{\delta z_{1}} \delta z_{1}+\frac{\delta V}{\delta x_{2}} \delta x_{2}+\frac{\delta V}{\delta y_{2}} \delta y_{2}+\frac{\delta V}{\delta z_{2}} \delta z_{2}+ \\
+\frac{\delta V}{\delta a_{1}} \delta a_{1}+\frac{\delta V}{\delta b_{1}} \delta b_{1}+\frac{\delta V}{\delta c_{1}} \delta c_{1}+\frac{\delta V}{\delta a_{2}} \delta a_{2}+\frac{\delta V}{\delta b_{2}} \delta b_{2}+\frac{\delta V}{\delta c_{2}} \delta c_{2}+\frac{\delta V}{\delta H} \delta H .\left(\mathrm{B}^{2}\right)
\end{array}
\]

Однако сущность нашего метода состоит в том, чтобы предварительно вывести выражсние этой вариации при помощи нашего закона переменного действия, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\delta V=m_{1}\left(x_{1}^{\prime} \delta x_{1}-a_{1}^{\prime} \delta a_{1}+y_{1}^{\prime} \delta y_{1}-b_{1}^{\prime} \delta b_{1}+z_{1}^{\prime} \delta z_{1}-c_{1}^{\prime} \delta c_{1}\right)+ \\
\quad+m_{2}\left(x_{2}^{\prime} \delta x_{2}-a_{2}^{\prime} \delta a_{2}+y_{2}^{\prime} \delta y_{2}-b_{2}^{\prime} \delta b_{2}+z_{2}^{\prime} \delta z_{2}-c_{2}^{\prime} \delta c_{2}\right)+t \delta H, \quad\left(\mathrm{C}^{2}\right)
\end{array}
\]

и в том, чтобы рассматривать $V$ как характеристическую функцию движения, из формы которой можно вывести все промежуточные и все конечные интегралы известных дифференциальных уравнений, разложив выражения (C2) на следующие отдельные группы (включенные в (C) и (D)) :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{\prime}}=m, x^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta y_{\prime}}=m, x^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta z_{\prime}}=m, x_{\prime}^{\prime}, \\
\frac{\delta V}{\delta x_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta y_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime}, \frac{\delta V}{\delta z_{2}}=m_{2} x_{2}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta a_{1}}=-m, a_{\prime}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta b,}=-m, b_{\prime}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta c,}=-m, c_{\prime}^{\prime}, \\
\left.\frac{\delta V}{\delta a_{2}}=-m_{2} a_{2}^{\prime}, \frac{\delta V}{\delta b_{2}}=-m_{2} b_{2}^{\prime}, \quad \frac{\delta V}{\delta c_{2}}=-m_{2} c_{2}^{\prime} \quad\right\} \\
\end{array}
\]

и на следующее, уже встречавшееся ранее, уравнение
\[
\frac{\delta V}{\delta H}=t .
\]

В этом новом методе трудность интегрирования шести известных уравнений движения второго порядка (74) сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции $V$; для того чтобы найти форму этой функции, мы должны применить следующие два уравнения в частных производных первого порядка :
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{2 m_{1}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta y_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta z_{2}}\right)^{2}\right\}= \\
=m_{1} m_{2} f(r)+H, \\
-\frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta c_{1}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{2}}\left\{\left(\frac{\delta V}{\delta a_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta b_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta V}{\delta c_{2}}\right)^{2}\right\}= \\
=m_{1} m_{2} f\left(r_{0}\right)+H,
\end{array}
\]

совместно с некоторыми простыми соображениями. Из изложенных выше принципов легко вытекает, что интеграл этих двух уравнений в данном случае имеет вид:
\[
\begin{aligned}
V=\sqrt{\left(x_{n}-a_{n}\right)^{2}+\left(y_{n}-b_{n}\right)^{2}+\left(z_{n}-c_{n}\right)^{2}} \sqrt{2 H_{n}\left(m_{1}-m_{2}\right)} & + \\
& \quad+\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(h \vartheta+\int_{r_{0}}^{r} \rho d r\right),
\end{aligned}
\]

в котором $x_{n}, y_{n}, z_{n}, a_{n}, b_{n}, c_{n}$ обозначают конечные и начальные координаты центра тяжести системы:
\[
\left.\begin{array}{lll}
x_{\prime \prime}=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}}, & y_{n}=\frac{m_{1} y_{1}+m_{2} y_{2}}{m_{1}+m_{2}}, & z_{n}=\frac{m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \\
a_{\prime \prime}=\frac{m_{1} a_{1}+m_{2} a_{2}}{m_{1}+m_{2}}, & b_{\prime \prime}=\frac{m_{1} b_{1}+m_{2} b_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad c_{n}=\frac{m_{1} c_{1}+m_{2} c_{2}}{m_{1}+m_{2}},
\end{array}\right\}
\]

а $\vartheta$ – угол между конечными и начальными расстояниями $r, r_{0}$. Мы также написали для краткости
\[
\rho= \pm \sqrt{2\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(f(r)+\frac{H_{\prime}}{m_{1} m_{2}}\right)-\frac{h^{2}}{r^{2}}},
\]

где применение верхнего или нижнего знака зависит от того, увеличивается или уменьшается расстояние $r$; мы ввели три вспомогательные величины $h, H_{\text {, }}, H_{\text {\” }}$, определяемые условием
\[
0=\vartheta+\int_{r_{0}}^{r} \frac{\delta_{\rho}}{\delta h} d r
\]

в сочетании с двумя следующими :
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \int_{r_{0}}^{r} \frac{\delta_{\rho}}{\delta H} d r=\sqrt{\left(x_{\prime \prime}-a_{n}\right)^{2}+\left(y_{\prime \prime}-b_{n}\right)^{2}+\left(z_{\prime \prime}-c_{\prime \prime}\right)^{2}} \sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{2 H_{\prime \prime}}}, \\
H,+H_{\prime \prime}=H .
\end{array}\right\}\left(\mathrm{K}^{2}\right)
\]

Эти вспомогательные величины, хотя и являются функциями двенадцати крайних координат, все же могут рассматриваться как постоянные при вычислении трех определенных интегралов или пределов сумм многочисленных малых элементов
\[
\int_{r_{0}}^{r} \rho d r, \int_{r_{0}}^{r} \frac{\delta_{\rho}}{\delta h} d r, \int_{r_{0}}^{r} \frac{\delta_{\rho}}{\delta H} d r .
\]

Форма ( $\mathrm{H}^{2}$ ) для характеристической функции бинарной системы может рассматриваться как главное или радикальное соотношение, которое включает всю теорию движения такой системы и все детали этого движения могут быть выведены из него при помощи нашего метода. Однако ввиду того, что теория бинарных систем трудами более ранних авторов доведена до большого совершенства, нам достаточно будет здесь дать вкратце несколько примеров такого вывода.
14. Форма ( $\left.\mathrm{H}^{2}\right)$ характеристической функции бинарной системы определенно включает, когда $\rho$ заменяется своим значением (79), двенадцать величин $x_{n}, y_{n}, z_{m}, a_{n}, b_{n}, c_{n}, r, r_{0}, \vartheta, h, H, H_{n}$ (кроме масс $m_{1}, m_{2}$, которые всегда считаются данными); поэтому ее вариация может быть выражена следующим образом :
\[
\begin{array}{l}
+\frac{\delta V}{\delta r} \delta r+\frac{\delta V}{\delta r_{0}} \delta r_{0}+\frac{\delta V}{\delta \vartheta} \delta \vartheta+\frac{\delta V}{\delta h} \delta h+\frac{\delta V}{\delta H,} \delta H,+\frac{\delta V}{\delta H_{l \prime}} \delta H_{l !} . \\
\end{array}
\]

Если в этом выражении положить для краткости
\[
\lambda=\sqrt{\frac{2 H_{\prime \prime}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{\left(x_{\prime \prime}-a_{\prime \prime}\right)^{2}+\left(y_{\prime \prime}-b_{\prime \prime}\right)^{2}+\left(z_{\prime \prime}-c_{\prime \prime}\right)^{2}}},
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V}{\delta x_{\prime \prime}}=\lambda\left(x_{n}-a_{n}\right), \quad \frac{\delta V}{\delta y_{\prime \prime}}=\lambda\left(y_{n}-b_{n \prime}\right), \quad \frac{\delta V}{\delta z_{\prime \prime}}=\lambda\left(z_{n}-c_{n}\right), \\
\left.\frac{\delta V}{\delta a_{l \prime}}=\lambda\left(a_{n}-x_{n}\right), \quad \frac{\delta V}{\delta b_{n}}=\lambda\left(b_{n}-y_{n}\right), \quad \frac{\delta V}{\delta c_{n \prime}}=\lambda\left(c_{n}-z_{n}\right),\right\} \\
\end{array}
\]

а если положить
\[
\rho_{0}= \pm \sqrt{2\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(f\left(r_{0}\right)+\frac{H_{1}}{m_{1} m_{2}}\right)-\frac{h^{2}}{r_{0}^{2}}},
\]

то, так как знак радикала определяется тем же правилом, что и в случае $\rho$, мы получим
\[
\frac{\delta V}{\delta r}=\frac{m_{1} m_{2} \rho}{m_{1}+m_{2}}, \quad \frac{\delta V}{\delta r_{0}}=\frac{-m_{1} m_{2} r_{0}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \frac{\delta V}{\delta \vartheta}=\frac{m_{1}+m_{2} h}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Кроме того, согласно уравнениям условий ( $\left.\mathrm{I}^{2}\right),\left(\mathrm{K}^{2}\right)$ мы имеем
\[
\frac{\delta V}{\delta h}=0
\]

и
\[
\frac{\delta V}{\delta H_{n}}=\frac{\delta V}{\delta H,}=\int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{\rho}, \quad \delta H,+\delta H_{l \prime}=\delta H .
\]

Поэто му выражение (L2) может быть преобразовано следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\delta V=\lambda\left\{\left(x_{n}-a_{n}\right)\left(\delta x_{n}-\delta a_{n}\right)+\left(y_{n}-b_{n}\right)\left(\delta y_{n}-\delta b_{n}\right)+\right. \\
\left.+\left(z_{n}-c_{n}\right)\left(\delta z_{n}-\delta c_{\prime \prime}\right)\right\}+\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \delta r-\rho_{0} \delta r_{0}+h \delta \vartheta\right)+ \\
+\int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{\rho} \delta H,
\end{array}
\]

и при помощи нашего общего метода может быть разложено на двенадцать отдельных выражений для конечных и начальных компонентов скоростей, а именно :
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta x_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(x_{n}-a_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta x_{1}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta x_{1}}\right), \\
y_{1}^{\prime}=\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta y_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(y_{n}-b_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta y_{1}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta y_{1}}\right), \\
z_{1}^{\prime}=\frac{1}{m_{1}} \frac{\delta V}{\delta z_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(z_{n}-c_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta z_{1}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta z_{1}}\right), \\
x_{2}^{\prime}=\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta x_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(x_{n}-a_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta x_{2}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta x_{2}}\right), \\
y_{2}^{\prime}=\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta y_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(y_{n}-b_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta y_{2}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta y_{2}}\right), \\
z_{2}^{\prime}=\frac{1}{m_{2}} \frac{\delta V}{\delta z_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(z_{n}-c_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho \frac{\delta r}{\delta z_{2}}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta z_{2}}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{1}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{1} \delta a_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(x_{n}-a_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta a_{1}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta a_{1}}\right), \\
b_{1}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{1} \delta b_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(y_{n}-b_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta b_{1}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta b_{1}}\right), \\
c_{1}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{1} \delta c_{1}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(z_{n}-c_{n}\right)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta c_{1}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta c_{1}}\right), \\
a_{2}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{2} \delta a_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(x_{n}-a_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta a_{2}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta a_{2}}\right), \\
b_{2}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{2} \delta b_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(y_{n}-b_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta b_{2}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta b_{2}}\right), \\
c_{2}^{\prime}=\frac{-1 \delta V}{m_{2} \delta c_{2}}=\frac{\lambda}{m_{1}+m_{2}}\left(z_{n}-c_{n}\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta c_{2}}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta c_{2}}\right)
\end{array}\right\}
\]

и на следующее выражение для времени движения системы:
\[
t=\frac{\delta V}{\delta H}=\int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{\rho},
\]

которое при помощи равенств ( $\left.\mathrm{K}^{2}\right),(79)$ и (80) может быть выражено в виде
\[
t=\frac{m_{1}+m_{2}}{\lambda} .
\]

Шесть уравнений ( $\mathrm{R}^{2}$ ) дают шесть промежуточных интегралов, а шесть уравнений ( $\mathrm{S}^{2}$ ) дают шесть конечных интегралов шести известных дифференциальных уравнений движения для любой бинарной системы, если мы исключим или определим три вспомогательные величины $h, H, H_{n}$ при помощи трех условий (I2), ( $\left.\mathrm{T}^{2}\right)$, ( $\left.\mathrm{U}^{2}\right)$. Таким образом, если мы заметим, что расстояния $r, r_{0}$ и заключенный между ними угол $\vartheta$ зависят только от относительных координат, которые могут быть обозначены
\[
\left.\begin{array}{lll}
x_{1}-x_{2}=\xi, & y_{1}-y_{2}=\eta, & z_{1}-z_{2}=\zeta, \\
a_{1}-a_{2}=\alpha, & b_{1}-b_{2}=\beta, & c_{1}-c_{2}=\gamma,
\end{array}\right\}
\]

то мы, выполнив простые вычисления, легко получим три промежуточных интеграла для центра тяжести системы:
\[
x_{n}^{\prime} t=x_{n}-a_{n}, \quad y_{n}^{\prime} t=y_{n}-b_{n}, \quad z_{n}^{\prime} t=z_{n}-c_{\prime \prime}
\]

и три конечных интеграла
\[
a_{l \prime}^{\prime} t=x_{n}-a_{n}, \quad b_{\prime \prime}^{\prime} t=y_{n}-b_{n}, \quad c_{\prime \prime}^{\prime} t=z_{l}-c_{n},
\]

выражающих хорошо известный закон прямолинейного и равномерного движения этого центра. Мы получаем также три промежуточных интеграла для относительного движения одной точки системы вокруг другой:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi^{\prime} & =\rho \frac{\delta r}{\delta \xi}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta \xi}, \\
\eta^{\prime} & =\rho \frac{\delta r}{\delta \eta}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta \eta}, \\
\zeta^{\prime} & =\rho \frac{\delta r}{\delta \zeta}+h \frac{\delta \vartheta}{\delta \zeta}
\end{array}\right\}
\]

и три конечных интеграла
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha^{\prime}=\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta \alpha}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta a}, \\
\beta^{\prime}=\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta \beta}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta \beta}, \\
\gamma^{\prime}=\rho_{0} \frac{\delta r_{0}}{\delta \gamma}-h \frac{\delta \vartheta}{\delta \gamma},
\end{array}\right\}
\]

в которых вспомогательные величины $h, H$, определяются посредством равенств ( $\left.\mathrm{I}^{2}\right),\left(\mathrm{T}^{2}\right.$ ) и в которых зависимость величин $r, r_{0}, \vartheta$ от $\xi, \eta, \zeta, \alpha, \beta, \gamma$ выражается уравнениями
\[
r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}, \quad r_{0}=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}, \quad r r_{0} \cos \vartheta=\xi \alpha+\eta \beta+\zeta \gamma .
\]

Теперь, если мы для краткости напишем
\[
A=\frac{\rho}{r}+\frac{h}{r^{2} \operatorname{tg} \vartheta}, \quad B=\frac{h}{r r_{0} \sin \vartheta}, \quad C=\frac{-\rho_{0}}{r_{0}}+\frac{h}{r_{0}^{2} \operatorname{tg} \vartheta},
\]

то получим три промежуточных интеграла
\[
\xi^{\prime}=A \xi-B \alpha, \quad \eta^{\prime}=A \eta-B \beta, \quad \zeta^{\prime}=A \zeta-B \gamma
\]

и три конечных интеграла
\[
\alpha^{\prime}=B \xi-C \alpha, \quad \beta^{\prime}=B \eta-C \beta, \quad \gamma^{\prime}=B \zeta-C \gamma
\]

уравнений относительного движения. Эти интегралы дают
\[
\left.\begin{array}{c}
\xi \eta^{\prime}-\eta \xi^{\prime}=\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}=B(\alpha \eta-\beta \xi), \\
\eta \zeta^{\prime}-\zeta \eta^{\prime}=\beta \gamma^{\prime}-\gamma \beta^{\prime}=B(\beta \zeta-\gamma \eta), \\
\zeta \xi^{\prime}-\xi \zeta^{\prime}=\gamma \alpha^{\prime}-\alpha \gamma^{\prime}=B(\gamma \xi-\alpha \zeta)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\zeta\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right)+\xi\left(\beta \gamma^{\prime}-\gamma \beta^{\prime}\right)+\eta\left(\gamma \alpha^{\prime}-\alpha \gamma^{\prime}\right)=0 ;
\]

они содержат, следовательно, известный закон равных площадей и закон плоскости относительной орбиты. Если ради упрощения мы возьмем эту плоскость вместо плоскости $\xi \eta$, то величины $\zeta, \zeta^{\prime} \gamma, \gamma^{\prime}$ исчезнут, и мы сможем написать
\[
\xi=r \cos \theta, \quad \eta=r \sin \theta, \quad \zeta=0, \quad \alpha=r_{0} \cos \theta_{0}, \quad \beta=r_{0} \sin \theta_{0}, \quad \gamma=0
\]
и
\[
\left.\begin{array}{lll}
\xi^{\prime}=r^{\prime} \cos \theta-\theta^{\prime} r \sin \theta, & \eta^{\prime}=r^{\prime} \sin \theta-\theta^{\prime} r \cos \theta, & \zeta^{\prime}=0, \\
\alpha^{\prime}=r^{\prime} \cos \theta_{0}-\theta_{0}^{\prime} r_{0} \sin \theta_{0}, & \beta^{\prime}=r_{0}^{\prime} \sin \theta_{0}+\theta_{0}^{\prime} r_{0} \cos \theta_{0}, & \gamma^{\prime}=0 .
\end{array}\right\}
\]

При этом углы $\theta, \theta_{0}$ отсчитываются от какой-либо неподвижной линии в плоскости, причем они таковы, что их разность
\[
\theta-\theta_{0}=\vartheta \text {. }
\]

Эти значения дают
\[
\xi \eta^{\prime}-\eta \xi^{\prime}=r^{2} \theta^{\prime}, \quad \alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}=r_{0}^{2} \theta_{0}^{\prime}, \quad \alpha \eta-\beta \xi=r r_{0} \sin \vartheta
\]

и, следовательно, при помощи равенств (88) и (91) получаем
\[
r^{2} \theta^{\prime}=r_{0}^{2} \theta_{0}^{\prime} \rightleftharpoons h .
\]

Отсюда величина $\frac{1}{2} h$ представляет собой постоянную секториальную скорость в относительном движении системы, причем, как легко заметить, этот результат не зависит от направлений трех прямоугольных координат. Величины (93), (94) дают также
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi \cos \theta+\eta \sin \theta=r, \xi^{\prime} \cos \theta+\eta^{\prime} \sin \theta=r^{\prime}, \alpha \cos \theta+\beta \sin \theta=r_{0} \cos \vartheta \\
\alpha \cos \theta_{0}+\beta \sin \theta_{0}=r_{0}, \alpha^{\prime} \cos \theta_{0}+\beta^{\prime} \sin \theta_{0}=r_{0}^{\prime}, \quad \xi \cos \theta_{0}+\eta \sin \theta_{0}=r \cos \vartheta
\end{array}\right\}
\]

и, следовательно, посредством промежуточных и конечных интегралов (89), (90) получим
\[
r^{\prime}=\rho, \quad r_{0}^{\prime}=\rho_{0} .
\]

Эти результаты, очевидно, согласуются с условием ( $\mathrm{T}^{2}$ ) и посредством равенств (79) и (81) дают для всех направлений координат :
\[
\begin{aligned}
r^{\prime 2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}-2\left(m_{1}+m_{2}\right) f(r) & = \\
= & r_{0}^{\prime 2}+\frac{h^{2}}{r_{0}^{2}}-2\left(m_{1}+m_{2}\right) f\left(r_{0}\right)=2 H,\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому другая вспомогательная величина $H$, также является постоянной, не зависящей от времени, и входит как таковая в постоянную часть выражения $\left(r_{0}^{\prime 2}+\frac{h^{2}}{r^{2}}\right)$ квадрата относительной скорости. Уравнение условий (I²), связывающее эти две постоянные $h, H$, с пределами длин радиуса-вектора $r$ и с углом $\vartheta$, описываемым этим радиусом при вращении от его начального до конечного направления, представляет собой уравнение плоскости относительной орбиты, а другое уравнение условия ( $\mathrm{T}^{2}$ ), связывающее эти две постоянные с теми же крайними расстояниями и с временем, дает закон скорости взаимного сближения или удаления.

Следует отметить, что часть $V$, полной характеристической функции $V$, которая представляет относительное действие и определяет относительное движение в системе, а именно:
\[
V,=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(h \vartheta+\int_{r_{0}}^{r} \rho d r\right),
\]

при помощи равенства ( $\left.\mathrm{I}^{2}\right)$ может быть написана в виде
\[
V,=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \int_{r_{0}}^{r}\left(\rho-h \frac{\delta \rho}{\delta h}\right) d r
\]

или окончательно при помощи равенства (79) – в виде
\[
V,=2 \int_{r_{0}}^{r} \frac{m_{1} m_{2} f(r)+H,}{\rho} d r ;
\]

само условие (I²) также при помощи равенства (79) может быть преобразовано следующим образом :
\[
\vartheta=h \int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{r^{2} \rho}
\]

Все эти результаты легкого поддаются проверке. Уравнения в частных производных, связанные с законом относительной живой силы, которым должна удовлетворять характеристическая функция $V$, относительного движения, могут быть написаны в следующем виде :
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \vartheta}\right)^{2}=\frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(U+H,), \\
\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta r_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{r_{0}^{2}}\left(\frac{\delta V_{\prime}}{\delta \vartheta}\right)^{2}=\frac{2 m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(U_{0}+H_{\prime}\right),
\end{array}\right\}
\]

и если вариация первых уравнений из этой пары берется по отношению к $r$ и $\vartheta$, причем следует обратить внимание на динамические значения производных характеристической функции, то это приведет (как и в предыдущих случаях) к известным дифференциальным уравнениям второго порядка.