В это же время Лаплас**) приложил метод, примененный Мопертюи для получения с корпускулярной точки зрения закона преломления обычного луча, к задаче двойного лучепреломления. Лаплас использовал принцип наименьшего действия, математическая сторона которого настолько усовершенствовалась со времен Мопертюи, что стало возможно применять его к более сложным проблемам, чем простое преломление света. Лаплас предположил, что кристаллическая среда действует на световые корпускулы необыкновенного луча так, что изменяет их скорость в отнсшении, которое зависит от наклона необыкновенного луча к оси кристалла. В самом деле, разность квадратов скоростей обықновенного и необыкновенного луча пропорциональна квадрату синуса угла, котєрый образует необыкновенный луч с осью кристалла. Принцип наименьшего действия тогда приводит к закону преломления, тождественному с тем, который был найден Гюйгенсом. Закон преломления необыкновенного луча может быть также выведен из принципа Ферма при допущении, что скорость обратно пропорциональна той, которая предполагается при рассмотрении вопроса с помощью принципа наименьшего действия; скорость, соответствующая принципу Ферма, согласуется со скоростью, найденной Гюйгенсом.
Теория Лапласа была подвергнута критике Юнгом***), который указал на невероятность существования такой системы сил, которая требуется для изменения скоростей световых корпускул. Однако самое сильное возражение, разрушающее все рассуждения Лапласа, сделал Гаусс в примечании к своей работе «Об одном новом общем принципе механики»****). Он говорит: «Я позволю себе сделать одно замечание. Я считаю неудовлетворительным метод, примененный другим великим геометром (Laplace, Mémoires de l’Institut, 1809) для вывода закона преломлений Гюйгенса из принципа наименьнего действия. Действительно, этот принцип, по существу, предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого скорость точек в движении полностью определяется их положением, а направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого влияния. Тем не менее, это влияние является исходной точкой рассуждений упомянутого нами автора. Мне думается, что все усилия геометров объяснить двойное преломление в рамках эмиссионной гипотезы останутся бесплодными до тех пор, пока световые молекулы будут рассматриваться как простые точки».
Среди других исследователей, занимавшихся в рассматриваемую эпоху вопросами, связанными с принципом наименьшего действия, необходимо отметить Л. Карно. Под непосредственным влиянием работ Лагранжа Л. Карно применил принцип наименьшего действия к теории удара и установлению общих теорем импульсивного движения. В формулировке Л. Карно, данной в 1803 г., как говорит сам Қарно, «более не остается ничего неопределенного в принципе Мопертюи, который выражен строго и математически»*). Исключив категорически всякий метафизический аспект, Л. Карно указывает вместе с тем, что претензии Мопертюи на универсальность принципа не обоснованы, и в частности отмечает, что и в области законов удара, которые выводил из него Мопертюи, этот принцип не охватывает случая, когда тела имеют различную степень упругости. В отдельных же случаях с помощью этого принципа можно получить интересные результаты. Л. Карно находит таким путем важную теорему, что для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения, в которой без наличия прямо приложенных импульсов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей этим изменениям скоростей.
Следующий важный цаг в развитии интересующего нас круга идей сделал замечательный французский ученый Пуассон, исходя из разработанного Лагранжем и им метода вариации произвольных постоянных. Вместе с тем Пуассон как бы завершил исключение всякой посторонней метафизики из вопросов, связанных с соотношением, получившим название принципа наименьшего действия.
Место, которое отвел Пуассон в своей механике принципу наименьшего действия, интересно с историко-научной точки зрения.
Установив, что при отсутствии ускоряющих сил материальная точка всегда движется на заданной поверхности по наиболее короткой линии, по которой на этой поверхности можно перейти от одной точки к другой, Пуассон замечает, что это свойство траектории подвижной точки есть лишь частный случай более общего свойства, которое получило неподходящее название принципа наименьшего действия.
В общем во всех существенных пунктах изложение Пуассона близко изложению Лагранжа.
Лишь в одном пункте Пуассон рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия с иной точки зрения. Как мы уже отмечали, оптический аспект принципа у Лагранжа отсутствовал. Напротив, именно Лаплас непосредственный учитель Пуассона – применил рассматриваемый принцип для вывода закона двойного преломления света в исландском шпате. По этому поводу Пуассон замечает, что наиболее замечательным применением принципа является вывод из него законов отражения и преломления света.
