21. Три уравнения ( $\mathrm{K}^{6}$ ) в том случае, когда вспомогательная постоянная $q^{(i)}$ исключается посредством формулы ( $\left.L^{6}\right)$, строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка $\left(\mathrm{M}^{6}\right)$ для относительного движения бинарной системы ( $m_{i} m_{n}$ ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$ как функции их начальных значений и начальных скоростей $\alpha_{i}, \beta_{i}, v_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, v_{i}^{\prime}$ и времени $t$. Подобным же образом три уравнения (I’), по исключении $g^{(i)}$ посредством ( $\left.\mathrm{L}^{6}\right)$, представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы $\left(m_{i} m_{n}\right)$, возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек $m_{i}$ всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части $V, 2$ полной характеристической функции относительного движения $V$ вместе с главной частью приближенного значения $V_{{ }_{1}}$.
Уравнения ( $\left.\mathrm{X}^{1}\right)$, ( $\mathrm{Y}^{1}$ ) двенадцатого параграфа дают строго
\[
\begin{array}{c}
\xi_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \xi_{i}}, \quad \eta_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \eta_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta \eta_{i}}, \\
\zeta_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V^{\prime}}{\delta \zeta_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V,}{\delta \xi_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
-\alpha_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V}{\delta \alpha_{i}}+\frac{1}{m_{n}}
u^{\prime}, \frac{\delta V,}{\delta \alpha_{i}}, \quad-\beta_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{i}}+\frac{1}{m_{i}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta \beta_{i}}, \mid \\
\text { – } \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime}}{\delta v_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \mathbf{
u}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta v_{i}}, \\
\end{array}
\]

и, следовательно, используя ( $\left.\mathrm{A}^{6}\right)$, получим :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}=\xi_{i}^{\prime}-\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}-\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \xi_{i}}-\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \xi_{i}}, \\
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}}=\eta_{i}^{\prime}-\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}-\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \eta_{i}}-\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{i}}, \\
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}=\zeta_{i}^{\prime}-\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}-\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \zeta_{i}}-\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \xi_{i}}
\end{array}\right\}
\]

и аналогично
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta a_{i}}=\alpha_{i}^{\prime}+
u^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \alpha_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta a_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta a_{i}}, \\
\begin{array}{l}
-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}}=\beta_{i}^{\prime}+\Sigma^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \beta_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \beta_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta V_{2}}{\delta \beta_{i}}, \\
\left.-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta v_{i}}=
u_{i}^{\prime}+\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta
u^{(k)}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta v_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma, \frac{\delta V_{2}}{\delta v_{i}} \cdot\right\}
\end{array} \\
\end{array}
\]
исключением $m_{i}$ и $m_{n}$, а эти уравнения ( $\left.\mathrm{W}^{6}\right)$, ( $\left.\mathrm{X}^{6}\right)$ представляют собой точные ным же образом формула ( $\mathrm{L}^{6}$ ) для времени движения в бинарной системе, представляющая только приближение, когда система рассматривается как множественная, может быть исправлена на случай возмущения путем прибавления к ней аналогичного члена, выведенного из возмущающей части $V_{\prime_{2}}$ полной характеристической функции, т. е. путем замены ее на выражение
\[
t=\frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}+\frac{\delta V_{2}}{\delta H_{,}},
\]

что дает для $w^{(i)}$ исправленное и точное выражение
\[
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}=t-\frac{\delta V_{r_{2}}}{\delta H_{r}} .
\]

При этом предполагается, что здесь $V_{2}$ выбрано так, чтобы служить точно поправкой $V_{\iota_{1}}$. Если, следовательно, при помощи теории бинарных мы выведем выражения для трех переменных относительных координат $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$ как функций времени $t$ и шести начальных величин $\alpha_{i}, \beta_{i}, v_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime},
u_{i}^{\prime}$, а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{i}=\Phi_{1}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, v_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}, t\right), \\
\eta_{i}=\Phi_{2}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}, t\right) \\
\zeta_{i}=\Phi_{3}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}, t\right)
\end{array}\right\}
\]

то будем знать, что следующие соотношения являются строго и тождественно истинными $\left[{ }^{89}\right]$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{i}=\Phi_{1}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \alpha_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \gamma_{i}}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right), \\
\eta_{i}=\Phi_{2}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \alpha_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \gamma_{i}}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right), \\
\zeta_{i}=\Phi_{3}\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \alpha_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \beta_{i}},-\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \gamma_{i}}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, эти соотношения будут справедливы и тогда, когда мы подставим вместо четырех производных $w^{(i)}$ их точные значения $\left(\mathrm{X}^{6}\right)$ и $\left(\mathrm{Z}^{6}\right)$ для случая множественной системы. Таким образом, мы можем сохранить для любой множественной системы конечные интегралы ( $\mathrm{A}^{7}$ ) движения бинарной системы, если только мы прибавим к начальным компонентам

$\alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}$ относительной скорости, а ко времени $t$ следующие возмущенные члены :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta \alpha_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \alpha_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \alpha_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime} \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \alpha_{i}}, \\
\Delta \beta_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \beta_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \beta_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{2}}{\delta \beta_{i}}, \\
\Delta \gamma_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}}-\frac{\delta w^{(k)}}{\delta \gamma_{k}}+\frac{1}{m_{i}}-\frac{\delta V_{\prime 2}}{\delta \gamma_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{2}}{\delta \gamma_{i}}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\Delta t=-\frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta H_{i}} \text {. }
\]

Таким же образом, так как теория бинарных систем (или исключение $g^{(i)}$ из четырех уравнений $\left(\mathrm{I}^{6}\right),\left(\mathrm{L}^{6}\right)$ ) дала три промежуточных интеграла вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{i}^{\prime}=\psi_{1}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, t\right), \\
\eta_{i}^{\prime}=\psi_{2}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, t\right), \\
\zeta_{i}^{\prime}=\psi_{3}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, t\right),
\end{array}\right\}
\]

то можно сделать вывод, что уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}=\psi_{1}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right), \\
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \eta_{i}}=\psi_{2}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right), \\
\frac{\delta w^{(i)}}{\delta \xi_{i}}=\psi_{3}\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \frac{\delta w^{(i)}}{\delta g^{(i)}}\right)
\end{array}\right\}
\]

являются тождественными и, следовательно, должны оставаться истинными, когда при переходе ко множественной системе мы подставляем вместо производных $w^{(i)}$ их точные значения $\left(\mathrm{W}^{6}\right),\left(\mathrm{Z}^{6}\right)$. Поэтому три промежуточных интеграла ( $\mathrm{E}^{7}$ ) движения бинарной системы могут быть строго приспособлены к случаю множественной системы, если сначала прибавить к времени $t$ возмущающий член $\left(\mathrm{D}^{7}\right)$, а затем прибавить к получившимся значениям конечных компонентов относительной скорости следующие величины :
\[
\begin{array}{l}
\Delta \xi_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \xi_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \xi_{i}}, \\
\Delta \eta_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2^{\prime}}}{\delta \eta_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime} \frac{\delta V_{2}}{\delta \eta_{i}}, \\
\Delta \zeta_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime} \frac{m_{k}}{m_{k}+m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \xi_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \xi_{i}}+\frac{1}{m_{n}} \Sigma^{\prime}, \frac{\delta V_{2}}{\delta \xi_{i}} .
\end{array}
\]
22. Для того чтобы вывести из этих строгих результатов некоторые полезные приближенные выражения, мы пренебрежем в возмущениях членами второго порядка малости по отношению к малым массам системы и по отношению к постоянной $2 H$, относительной живой силы, которая,

как легко заметить, будет малой того же порядка, что и массы. Тогда возмущения координат, выведенные методом, изложенным выше, будут иметь вид :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Delta \xi_{i} & =\frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta t} \Delta t \\
\Delta \eta_{i} & =\frac{\delta \eta_{i}}{\delta \alpha_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta t} \Delta t \\
\Delta \zeta_{i} & =\frac{\delta \zeta_{i}}{\delta \alpha_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \zeta_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+\frac{\delta \zeta_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}+\frac{\delta \zeta_{i}}{\delta t} \Delta t
\end{array}\right\}
\]

В этих выражениях мы можем взамен строгих значений (С’) для $\Delta \alpha_{i}^{\prime}, \Delta \beta_{i}^{\prime}, \Delta \gamma_{i}^{\prime}$ применить следующие приближенные значения :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta \alpha_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \alpha_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \alpha_{i}}, \\
\Delta \beta_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \beta_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \beta_{i}}, \\
\Delta \gamma_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime}^{\prime \prime} \frac{m_{k}}{m_{n}} \frac{\delta w^{(k)}}{\delta \gamma_{k}}+\frac{1}{m_{i}} \frac{\delta V_{2}}{\delta \gamma_{i}} .
\end{array}\right\}
\]

Для вычисления четырех производных
\[
\frac{\delta V_{2}}{\delta a_{i}}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \beta_{i}}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta \gamma_{i}}, \frac{\delta V_{\prime_{2}}}{\delta H},
\]

которые входят в значения ( $\left.\mathrm{I}^{7}\right)$, ( $\left.\mathrm{D}^{7}\right)$, мы можем рассматривать $V_{,_{2}}$ при помощи ( $\left.\mathrm{R}^{6}\right)$, ( $\mathrm{T}^{6}$ ) и на основе теории бинарных систем как функцию начальных и конечных относительных координат и начальных компонентов относительных скоростей, включая также явно время $t$ и $n-2$ вспомогательные величины вида $g^{(k)}$. Затем мы должны рассматривать эти начальные компоненты, вспомогательные величины и время как зависящие в свою очередь от начальных и конечных координат и от $H$. Однако, исходя из изложенных выше принципов, нетрудно доказать, что при таком подходе к $t$ и $g^{(k)}$ их вариации при данной степени приближения будут [90]
\[
\delta t=\frac{\Sigma, m\left(\frac{\delta^{2} w}{\delta g^{2}}\right)^{-1} \delta,-\frac{\delta w}{\delta g}+\delta H}{\Sigma, m\left(\frac{\delta^{2} w}{\delta g^{2}}\right)^{-1}}
\]

и
\[
\delta g^{(k)}=\left(\frac{\delta^{2} w^{(k)}}{\left.\delta q^{(k)}\right)^{-1}}\left(\delta t-\delta, \frac{\delta w^{(k)}}{\delta q^{(k)}}\right),\right.
\]

причем знак варьирования $\delta$ относится только к начальным и конечным координатам, а
\[
\frac{\delta^{2} w^{(i)}}{\delta g^{(i) 2}} \frac{\delta \xi_{i}}{\delta t}=\frac{\delta^{2} w^{(i)}}{\delta a_{i} \delta g^{(i)}} \frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}}+\frac{\delta^{2} w^{(i)}}{\delta \overline{\beta_{i}} \delta g^{(i)}}-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \bar{\beta}_{i}^{\prime}}+\frac{\delta^{2} w^{(i)}}{\delta \gamma_{i} \delta g^{(i)}} \frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}},
\]

и аналогично для соотношений между производными двух других координат $\eta_{i}, \zeta_{i}$. Из этого следует, что $t$ и $g^{(k)}$ и, следовательно, $\alpha_{k}^{\prime}, \beta_{k}^{\prime}, \gamma_{k}^{\prime}$ могут рассматриваться как постоянные, когда мы берем вариацию возмущающей части $V_{2}$ для вычисления возмущений ( $\left.\mathrm{H}^{7}\right)$, и что члены, включающие $\Delta t$, уничтожаются

другими членами. Поэтому мы можем просто написать $\left[{ }^{91}\right]$ :
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Delta \xi_{i} & =\frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}, \\
\Delta \eta_{i} & =\frac{\delta \eta_{i}}{\delta a_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+\frac{\delta \eta_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}, \\
\Delta \zeta_{i} & =\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \alpha_{i}^{\prime}} \Delta \alpha_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \Delta \beta_{i}^{\prime}+\frac{\delta \xi_{i}^{\prime}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \Delta \gamma_{i}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

применяя для $\Delta \alpha_{i}^{\prime}$ следующее новое выражение :
$\Delta a_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime}{ }^{\prime} m_{k}\left\{\int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta a_{i}} d t+\frac{\delta a_{i}^{\prime}}{\delta a_{i}^{\prime}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta u_{i}^{\prime}} d t+\right.$
\[
\left.+\frac{\delta \beta_{i}^{i}}{\delta \alpha_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} d t+\frac{\delta \gamma_{i}^{i}}{\delta a_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} d t\right\}
\]

совместно с аналогичными выражениями для $\Delta \beta_{i}^{\prime}, \Delta \gamma_{i}^{\prime}$, в которых знак суммы $\Sigma_{\text {\” }}$ относится к возмущающим массам, а величина
\[
R^{(i, k)}=f^{(i, k)}+\xi_{i} \frac{\delta f(k)}{\delta \xi_{k}}+\eta_{i} \frac{\delta f^{(k)}}{\delta \eta_{k}}+\zeta_{i} \frac{\delta f^{(k)}}{\delta \zeta_{k}}
\]

согласно теории бинарных систем рассматривается как зависящая от $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}, \alpha_{k}, \beta_{k}, \gamma_{k}, \alpha_{k}^{\prime}, \beta_{k}^{\prime}, \gamma_{k}^{\prime}, t$, в то время как $\alpha_{i}^{\prime}, \beta_{i}^{\prime}, \gamma_{i}^{\prime}$ на основе тех же правил считаются зависящими от $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$ и $t$. Можно таюже легко показать, что имеет место [92] уравнение
\[
\frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}^{\prime}} \frac{\delta a_{i}^{\prime}}{\partial a_{i}}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \frac{\delta a_{i}^{\prime}}{\partial \beta_{i}}+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \frac{\delta a_{i}^{\prime}}{\delta \gamma_{i}}=-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}}
\]

и другие аналогичные уравнения ; поэтому возмущения координат $\xi_{i}$ можно выразить следующим образом :
\[
\begin{aligned}
1 \xi_{i}=\Sigma^{\prime} & m_{k}\left\{\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \alpha_{i}^{\prime}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta a_{i}} d t-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta a_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta a_{i}^{\prime}} d t+\right. \\
& +\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \beta_{i}} d t-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \beta_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} d t+ \\
& \left.+\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \gamma_{i}} d t-\frac{\delta \xi_{i}}{\delta \gamma_{i}} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} d t\right\},
\end{aligned}
\]

а возмущения двух других координат могут быть выражены аналогично. На основе тех же принципов получается, что когда мы берем первые производные этих возмущений ( $\left.\mathrm{R}^{7}\right)$, интегралы могут рассматриваться как постоянные; поэтому мы можем либо представить перемену места возмущенной точки $m_{i}$ на ее относительной орбите вокруг $m_{n}$ путем незначительного изменения начальных компонентов скорости без изменения начального положения с последующим использованием правил для бинарных систем, либо мы можем немедленно вычислить возмущения положения и скорости путем применения тех же правил, немедленно изменив также началыное положение и начальную скорость. Если мы применим первый из этих ,’щух

методов, мы должны воспользоваться выражениями ( $\left.\mathrm{O}^{7}\right)$, которые могут быть записаны следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta a_{i}^{\prime}=\Sigma_{\”} m_{k} \frac{\delta}{\delta a_{i}} \int_{0}^{t} R^{(i, k)} d t, \\
\Delta \beta_{i}^{\prime}=\Sigma_{\prime \prime} m_{k} \frac{\delta}{\delta \beta_{i}} \int_{0}^{t} R^{(i, k)} d t, \\
\Delta \gamma_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime}{ }_{\prime \prime} m_{k} \frac{\delta}{\delta \gamma_{i}} \int_{0}^{t} R^{(i, k)} d t ;
\end{array}\right\}
\]

если же мы примем последний метод, мы должны взять :
\[
\left.\begin{array}{ll}
\Delta \alpha_{i}^{\prime}=\Sigma_{\”} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta a_{i}} d t, & \Delta \alpha_{i}=-\Sigma_{\”} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \alpha_{i}^{\prime}} d t, \\
\Delta \beta_{i}^{\prime}=\Sigma^{\prime} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \beta_{i}} d t, & \Delta \beta_{i}=-\Sigma_{\”}^{\prime} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \beta_{i}^{\prime}} d t, \\
\Delta \gamma_{i}^{\prime}=\Sigma_{\”} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \gamma_{i}} d t, & \Delta \gamma_{i}=-\Sigma_{\”} m_{k} \int_{0}^{t} \frac{\delta R^{(i, k)}}{\delta \gamma_{i}^{\prime}} d t .
\end{array}\right\}
\]

Лагранж пользовался последним методом, но первый подсказывается более непосредственно принципами настоящей работы $\left[{ }^{93}\right]$.