Мы должны теперь доказать существование важной связи между скоростью движущегося тела и скоростью фазовой волны. Если волны с близкими частотами распространяются в одном и том же направлении $O x$ со скоростями $V$, которые мы назовем скоростями распространения фазы, то их суперпозиция приведет к появлению биений в том случае, когда скорость

$V$ изменяется с изменением частоты $v$. Эти явления были, в частности, изучены лордом Рэлеем для случая дисперсионных сред.

Рассмотрим две волны с близкими частотами $v$ и $v^{\prime}=v+\delta v$ и скоростями $V$ и $V^{\prime}=V+\frac{d V}{d v} \delta v$; их суперпозиция может быть выражена аналитически следующим уравнением, полученным при пренебрежении во втором члене величиной $\delta v$ по сравнению с $v$ :
$\sin 2 \pi\left(v t-\frac{v x}{V}+\varphi\right)+\sin 2 \pi\left(v^{\prime} t-\frac{v^{\prime} x}{V^{\prime}}+\varphi^{\prime}\right)=$
\[
=2 \sin 2 \pi\left(v t-\frac{v x}{V}+\psi\right) \cos 2 \pi\left[\frac{\delta v}{2} t-x \frac{d\left(\frac{v}{V}\right)}{d v} \frac{\delta v}{2}+\psi^{\prime}\right] .
\]

Мы получили, таким образом, результирующую синусоидальную волну, амплитуда которой модулирована частотой $\delta v$, так как знак косинуса не существен. Это – известный результат. Если обозначить скорость распространения пульсаций или скорость группы волн через $U$, то
\[
\frac{1}{U}=\frac{d\left(\frac{v}{V}\right)}{d v} .
\]

Вернемся к фазовым волнам. Примем, что скорость движущегося тела $v=\beta c$, где $\beta$ не имеет определенного значения, но заключено в пределах между $\beta$ и $\beta+\delta \beta$; частоты соответствующих волн находятся в небольшом интервале $
u,
u+\delta v$.

Мы устанавливаем теперь следующую теорему, которая нам в дальнейшем понадобится: «Скорость группы фазовых волн равна скорости движущегося тела». Действительно, эта скорость группы волн определяется только что приведенной формулой, в которой $V$ и $v$ можно рассматривать как функции $\beta$, поскольку
\[
V=\frac{c}{\beta}, \quad v=\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Можно написать
\[
U=\frac{\frac{d v}{d \beta}}{\frac{d\left(\frac{v}{V}\right)}{d \beta}}
\]

или
\[
\frac{d v}{d \beta}=\frac{m_{0} c^{2}}{h}-\frac{\beta}{\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}}, \quad \frac{d\left(\frac{v}{V}\right)}{d \beta}=\frac{m_{0} c}{h} \frac{d\left(\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)}{d \beta}=\frac{m_{0} c}{h} \frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Тогда $U=\beta c=v$.
Скорость группы фазовых волн точно равна скорости движущегося тела. Этот результат требует одного замечания : в волновой теории дисперсии, если исключить зоны поглощения, скорость энергии равна скорости группы.*) Однако несмотря на то, что мы исходим здесь из совершенно другой точки зрения, результат оказался совершенно таким же, так как скорость движущегося тела и есть скорость перемещения энергии.